Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2 + 1, у = 0, х = 1, х = 2.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

у₁ = х² + 1, у₂ = 0, х₁ = 1, х₂ = 2.

площадь фигуры  это интеграл вида

$\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2}) \, dx$

у нас есть все данные

$\int\limits^2_1 {(x^2+1}) \, dx = \int\limits^2_1 {(x^2}) \, dx +\int\limits^2_1 {(1}) \, dx =\frac{x^3}{3} I_1^2+xI_1^2 = \frac{8}{3} -\frac{1}{3}+2-1 = \frac{10}{3} }$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, вам нужно вычислить определенный интеграл функции, представляющей верхнюю кривую, минус нижнюю кривую, вдоль заданного диапазона значений x.

В данном случае у нас есть две кривые: у = х^2 + 1 (верхняя) и у = 0 (нижняя), а также интервал x от 1 до 2. Площадь можно найти следующим образом:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx,

где a = 1 (начало интервала) и b = 2 (конец интервала).

В данном случае, верхняя кривая - нижняя кривая будет:

(х^2 + 1) - 0 = х^2 + 1.

Таким образом, площадь равна:

Площадь = ∫[1, 2] (х^2 + 1) dx.

Теперь вычислим этот интеграл:

∫(х^2 + 1) dx = (1/3) * х^3 + х + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь вычислим значение интеграла на интервале [1, 2]:

Площадь = [(1/3) * 2^3 + 2] - [(1/3) * 1^3 + 1] = [8/3 + 2] - [1/3 + 1] = (8/3 + 2) - (1/3 + 1) = 14/3 - 4/3 = 10/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 + 1, у = 0, х = 1 и х = 2, равна 10/3 квадратных единиц.