Question

При каком значении а функция f(x)=(a-3)x³+( |a| -3 )x² +ax+a+3 Нечетна на всей числовой оси

Answer 1

1)Нечётные функции - это функции с нечётной степенью (х³) , sinx, tgx, ctgx и так далее.

• В нечётных функциях: f(-x) = -f(x).

• Графики нечётных функций бывают симметричны относительно прямой: у = х.

2) Чётные функции - это функции с четной степенью (х²), любые числа, кроме нуля (6), соsx и так далее.

• В чётных функциях: f(-x) = f(x).

• Графики чётных функций симметричны относительно вертикальной прямой у.

Теперь приступим к решению вопроса.

Чтобы данная функция была нечётна на всей числовой оси, число а должно иметь такое значение, чтобы (|а| - 3) и (а + 3) равнялись нулю, чтобы остались только функции с нечётной степенью и их сумма также составляла бы нечётную функцию.

Решим сначала первое уравнение:

|а| - 3 = 0

|а| = 3

а = ± 3

А сейчас посмотрим на второе уравнение. При а = 3, сумма (а + 3) точно не будет равна нулю, она будет равна 6. Шесть, как число, это чётная функция. Соответственно, мы не можем взять значение а = 3. Но при значении а = -3, сумма (а + 3) = -3 + 3 = 0. Это означает, что при а = -3, мы избавимся от этих двух чётных функций в самой функции, и останутся только две нечётные, также составляющие в сумме нечётную функцию.

Ответ: при а = -3 данная функция будет нечётна на всей числовой оси.

Answer 2

Функция является нечётной, если выполняется следующее свойство: f(-x) = -f(x) для всех x.

Давайте применим это свойство к данной функции:

f(x) = (a-3)x³ + (|a|-3)x² + ax + a + 3

f(-x) = (a-3)(-x)³ + (|a|-3)(-x)² - ax + a + 3

Теперь мы хотим, чтобы f(-x) = -f(x):

(a-3)(-x)³ + (|a|-3)(-x)² - ax + a + 3 = -(a-3)x³ - (|a|-3)x² - ax - a - 3

Упростим уравнение:

-a(x³) - (|a|-3)(x²) - ax + a + 3 = -ax³ + (|a|-3)x² + ax - a - 3

Теперь сократим на -a:

x³ + (|a|-3)(x²) + x - 1 = 0

Это уравнение должно выполняться для всех значений x, чтобы функция была нечётной на всей числовой оси.

Теперь обратим внимание на (|a|-3)(x²) и x. Для того чтобы сумма x³ + (|a|-3)(x²) + x была нечётной, нужно, чтобы члены x² и x взаимно уничтожались при замене x на -x. То есть, |a| - 3 = 0 и x = 0.

Из уравнения |a| - 3 = 0 находим |a| = 3, что означает a = 3 или a = -3.

Таким образом, функция f(x) = (a-3)x³ + (|a|-3)x² + ax + a + 3 будет нечётной на всей числовой оси, если a = 3 или a = -3.