Question

Наполнение водой пустого бассейна возможно двумя трубами. В течение каждого часа из каждой трубы в бассейн втекает одно и тоже количество воды. Чтобы наполнить бассейн только первой трубой, нужно времени в 3 раза меньше, чем только второй трубой. А если наполнять бассейн водой обеими трубами, то понадобится 6 часов. Сколько времени понадобится для наполнения пустого бассейна, если его четвёртая часть наполнится только первой трубой, а остальная часть - только второй? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Ответ:

20 часов

Пошаговое объяснение:

Пусть скорость наполнения с первой трубы x бассейнов/час , тогда  скорость наполнения с второй трубы y=$\frac{x}{3}$ бассейнов/час

Зная это составим систему уравнений

$\left \{ {{x=3y} \atop {\frac{1}{x+y}=6 }} \right.$  ⇒ $\left \{ {{x=\frac{1}{8} } \atop {y=\frac{1}{24} }} \right.$

А нам нужно найти $\frac{\frac{1}{4} }{x} +\frac{\frac{3}{4} }{y} =\frac{1}{4x} +\frac{3}{4y} =\frac{1}{4 *\frac{1}{8} } +\frac{3}{4*\frac{1}{24} }=20$

Answer 2

Обозначим через $x$ количество времени (в часах), необходимое для наполнения бассейна только первой трубой, и через $y$ количество времени, необходимое для наполнения бассейна только второй трубой.

Из условия известно, что:

1. Если только первой трубой бассейн наполняется в три раза быстрее, чем только второй: $x = 3y$

2. Если обеими трубами бассейн наполняется за 6 часов: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Мы хотим наполнить 1/4 бассейна первой трубой и 3/4 бассейна второй трубой. Пусть $T$ - общее время (в часах), которое потребуется для этого.

В первой трубе за $T$ часов протечет $T/x$ часть объема бассейна, и это должно быть равно 1/4 объема бассейна: $\frac{T}{x} = \frac{1}{4}$

Аналогично, во второй трубе за $T$ часов протечет $T/y$ часть объема бассейна, и это должно быть равно 3/4 объема бассейна: $\frac{T}{y} = \frac{3}{4}$

Используя первое условие ($x = 3y$), мы можем подставить $x$ из первого уравнения во второе: $\frac{T}{3y} = \frac{3}{4}$

Отсюда найдем $T$: $T = \frac{9y}{4}$

Теперь мы можем подставить это значение $T$ в первое уравнение ($T/x = 1/4$) и найти $y$: $\frac{9y}{4x} = \frac{1}{4}$

Подставив $x = 3y$: $\frac{9y}{4 \cdot 3y} = \frac{1}{4}$ $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Условие выполняется. Значит, полученные $T$ и $y$ удовлетворяют всем условиям задачи. Таким образом, время, необходимое для наполнения бассейна, составляет $T = \frac{9y}{4} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{16}$ часов, то есть 0.5625 часа, или около 33.75 минут.