Question

Несколько обжор сидят за круглым столом и едят пирожки из корзины с 99 пирожками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше, чем его сосед справа. Какое наименьшее количество пирожков могло остаться? даю 10 баллов

Answer 1

Оценка.

Предположим, что есть обжора (обжора А), съевший нечетное число пирожков. Тогда он не мог съесть вдвое больше, чем его сосед справа, значит, съел на 6 меньше. Получаем, что сосед справа тоже съел нечетное число пирожков. Повторяя эти рассуждения, получим убывающую арифметическую прогрессию количества съеденных пирожков с разностью 6. При этом мы начинаем двигаться от обжоры А по кругу, пока не дойдем до него снова. Получим, что обжора А съел меньше обжоры А (прогрессия строго убывает). Противоречие. Значит, обжоры, съевшего нечетное количество пирожков нет. Все съели четное количество. Следовательно, все пирожки не могли быть съедены. Количество оставшихся пирожков не менее 1.

Пример.

Покажем, что один пирожок мог остаться (то есть было съедено 98 пирожков). Рассмотрим обжору Б. Пусть он съел 2 пирожка. Следующий справа съел 8, следующий съел 4. Тогда в этой тройке всего съедено 14 пирожков. Поставим 7 таких троек друг за другом: (2, 8, 4), (2, 8, 4), ..., (2, 8, 4). Всего съедено 14*7=98 пирожков, то есть один остался. Легко видеть, что предъявленная расстановка отвечает требованиям условия.

Ответ: 1 пирожок.

Answer 2

Давайте рассмотрим различные ситуации, чтобы определить, какое наименьшее количество пирожков могло остаться.

Пусть у нас есть пирожки A, B, C и т.д. в порядке по часовой стрелке за круглым столом. Предположим, что A съел x пирожков, B съел y пирожков, C съел z пирожков и так далее.

Условие гласит, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше, чем его сосед справа. Это можно записать как:

1. y = 2x или y = x - 6
2. z = 2y или z = y - 6
3. ...

Таким образом, у нас есть два варианта: либо каждый съедал вдвое больше, либо каждый съедал на 6 меньше. Давайте рассмотрим оба случая.

Случай 1: Каждый съел вдвое больше

Пусть x - количество пирожков, которое съел первый обжор. Тогда второй съел 2x, третий съел 4x и так далее.

Сумма пирожков: x + 2x + 4x + ... + 2^n * x = x * (1 + 2 + 4 + ... + 2^n) Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с коэффициентом 2. Сумма такой прогрессии равна (1 - 2^(n+1)) / (1 - 2) = 2^(n+1) - 1.

Мы хотим, чтобы эта сумма была меньше 99, чтобы осталось как можно меньше пирожков. Решая неравенство:

2^(n+1) - 1 < 99 2^(n+1) < 100 n + 1 < log2(100) n < log2(100) - 1

Подходящие значения n - 6 и 7.

Итак, если каждый съел вдвое больше, то наименьшее количество пирожков, которое могло остаться, это сумма пирожков от первого до восьмого обжора:

x + 2x + 4x + ... + 64x = x * (2^8 - 1) = 255x

Минимальное значение x - это 1 (иначе они не съели бы ни одного пирожка), поэтому минимальное количество пирожков в этом случае - 255.

Случай 2: Каждый съел на 6 меньше

Пусть x - количество пирожков, которое съел первый обжор. Тогда второй съел x - 6, третий съел (x - 6) - 6 и так далее.

Сумма пирожков: x + (x - 6) + (x - 12) + ... + (x - 6n) Это сумма арифметической прогрессии с шагом -6 и первым членом x.

Сумма арифметической прогрессии: (n + 1) * (первый член + последний член) / 2

Мы хотим, чтобы эта сумма была меньше 99, чтобы осталось как можно меньше пирожков. Решая неравенство:

(n + 1) * (x + (x - 6n)) / 2 < 99 (n + 1) * (2x - 6n) < 198 n * (2x - 6n) + 2x - 6n < 198

Подходящее значение n - 14.

Итак, если каждый съел на 6 меньше, то наименьшее количество пирожков, которое могло остаться, это сумма пирожков от первого до пятнадцатого обжора:

x + (x - 6) + (x - 12) + ... + (x - 84) = 15x - 6 * (1 + 2 + ... + 14) = 15x - 6 * 105 = 15x - 630

Минимальное значение x - это 1 (иначе они не съели бы ни одного пирожка), поэтому минимальное количество пирожков в этом случае - 15 - 630 = 615.

Итог

Минимальное количество пирожков, которое могло остаться, это либо 255 (если каждый съел вдвое больше), либо 615 (если каждый съел на 6 меньше).

Пожалуйста, уточните, какой именно случай должен быть выбран для получения 10 баллов.