Question

На каждую чашку весов положили k гирь, занумерованных числами от 1 до k, причём левая чашка перевесила. Оказалось, что если поменять местами любые две гири с одинаковыми номерами, то всегда либо правая чашка начинает перевешивать, либо чашки приходят в равновесие. При каких k это возможно?​

Answer 1

Ответ: k=1, k=2

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Ответ: На каждой чаше не более чем две гири. (по одной или по две)

Пошаговое объяснение:

Поскольку, если поменять гири с одинаковыми номерами местами, правая чаша перевешивает или сравнивается с левой, то гиря на левой чаше с n номером всегда тяжелее гири правой гири с n-м номером. (n=1,2,3...k)

Пусть:  

M1n - масса n-гири в левой чаше , M2n - масса n-гири справа.

Обозначим :  Xn = M1n -M2n >0

Тогда масса груза на левой чаше , на :

X= X1 + X2 + X3 ...+Xk   больше чем на  правой чаше.

При обмене гирь с одним номером ,  из  разности масс X вычитается

2*M1n и прибавляется  2*M2n

X' = X1 + X2 + X3 ...+Xk -2*M1n +2*M2n = X1 + X2 + X3 ...+Xk - 2*Xn = X1 + X2 +.....Xn-1 -Xn + Xn+1 +Xn+2....+Xk

Поскольку правая чаша перевешивает или уравнивает левую, то X'<0

(X1 + X2 +.....Xn-1 + Xn+1 +Xn+2....+Xk) -Xn <=0

То  есть это значит, что любая из взятых разностей не меньше суммы всех остальных разностей, а значит не меньше и их частичных сумм. (cумм некоторых из оставшихся)

Пусть таких разностей более 2 , то есть существует как минимум 3 разности : X1, X2,X3 , тогда

X1+X2 <=X3

X1+X3 <=X2

Сложим попарно эти неравенства :

2*X1 +X2 +X3 <= X2+X3

2*X1<=0

X1<=0

Но Xn>0

Мы пришли к противоречию , значит более двух гирь с каждой стороны быть не может.

Приведем пример для k=1:  

M11=5

M21=4

Приведем пример для k=2:

Из уравнения

(X1 + X2 +.....Xn-1 + Xn+1 +Xn+2....+Xk) -Xn <=0

для k=2 имеем :

X1-X2<=0

X2-X1<=0

Такое возможно только когда : X1=X2

Пусть , например,

M11=7 ; M12 = 5 ;

M21=6 ; M22= 4

X1=X2=1

7+4 = 6+5 = 11 ( верно)

Answer 3

Данная задача связана с понятием симметрии и баланса. Давайте рассмотрим различные значения k и определим, когда выполняется условие задачи.

При k = 1: У нас есть только одна гиря с номером 1, и она в левой чашке. Так как другой гири нет, они не могут меняться местами, и условие задачи выполнено.

При k > 1: Мы имеем k гирь с номерами от 1 до k, и они расположены в левой чашке в порядке возрастания номеров. В таком случае, мы можем предположить, что в правой чашке также находится k гирь, пронумерованных от 1 до k. Так как гири с одинаковыми номерами могут меняться местами, мы можем рассмотреть возможные симметричные комбинации.

Если мы поменяем местами гири с одинаковыми номерами (например, гири с номером i в левой чашке и гири с номером i в правой чашке), то результат не изменится, и баланс не нарушится.

Если же мы поменяем местами гири с разными номерами (например, гири с номером i в левой чашке и гири с номером j в правой чашке, где i ≠ j), то баланс также не нарушится, так как сумма весов в каждой чашке останется одной и той же.

Таким образом, для любого k > 1 условие задачи выполняется. Левая чашка всегда будет перевешивать, и при обмене гирь с одинаковыми номерами баланс либо сохранится, либо перейдет в правую чашку.