Question

Даны две пересекающиеся окружности с радиусом 2. Угол, образованный радиусом одной из окружностей, проведённым в одну из точек пересечения, и отрезком, соединяющим центры окружностей, составляет 30 градусов. Найдите расстояние между точками пересечения окружностей.

Answer 1

ОА=О₁А=2

∠АО₁О=30°   ⇒∠АОО₁=30°

Δ ОО₁А - равнобедренный

По теореме косинусов из Δ ОО₁А

OO₁²=2²+2²-2·2·2·cos120°=4+4+4=12

OO₁=2√3

Answer 2

Обозначим центры окружностей как A и B, а точки пересечения как C и D. Поскольку у нас есть угол между радиусом и хордой окружности, равный 30 градусам, мы можем заметить, что это угол вписанный.

В данной ситуации у нас есть два вписанных угла, так как есть две точки пересечения. Оба этих угла равны 30 градусам, так как они соответственные углы, образованные одним и тем же хордой.

Следовательно, треугольник AOC и треугольник BOD являются равнобедренными треугольниками. Угол AOC равен 30 градусам, и радиус AO равен радиусу BO (по определению равнобедренных треугольников).

Теперь, так как радиусы окружностей равны 2, мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения расстояния между точками пересечения C и D.

В равнобедренном треугольнике AOC:

• Угол AOC = 30 градусов
• Сторона AO = 2

Мы можем использовать функцию синуса: sin(30°) = (противолежащая сторона) / (гипотенуза) 1/2 = CD / 2 CD = 1

Таким образом, расстояние между точками пересечения окружностей C и D равно 1.