Question

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = x^4 - 4x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=x^4-4x^2\\\\y'=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \\y'=0\\x=0\\x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\\-----(-\sqrt{2})+++++(0)-----(\sqrt{2})+++++$

Убывает х∈(-∞;-√2)∪(0;√2)

Возрастает х∈(-√2;0)∪(√2;+∞)

Производная меняет знак с "-" на "+"⇒х=±√2  -min;

с "+" на "-"⇒х=0   -ma[

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции y = x^4 - 4x^2 нужно проанализировать производную этой функции.

1. Найдем производную функции y по переменной x:

y' = 4x^3 - 8x

2. Чтобы найти точки экстремума, решим уравнение y' = 0:

4x^3 - 8x = 0

4x(x^2 - 2) = 0

Таким образом, получаем две критические точки:

x = 0 и x^2 - 2 = 0

x = 0 и x = ±√2

3. Исследуем знак производной на разных интервалах между и вокруг критических точек:

a) При x < -√2: Подставим в y' значение x = -3: y' = 4(-3)^3 - 8(-3) = -108 + 24 = -84 Знак производной отрицательный.

b) Между -√2 и 0: Подставим в y' значение x = -1: y' = 4(-1)^3 - 8(-1) = 4 + 8 = 12 Знак производной положительный.

c) Между 0 и √2: Подставим в y' значение x = 1: y' = 4(1)^3 - 8(1) = 4 - 8 = -4 Знак производной отрицательный.

d) При x > √2: Подставим в y' значение x = 3: y' = 4(3)^3 - 8(3) = 108 - 24 = 84 Знак производной положительный.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

• Функция y = x^4 - 4x^2 возрастает на интервалах (-∞, -√2) и (0, √2).
• Функция y = x^4 - 4x^2 убывает на интервалах (-√2, 0) и (√2, +∞).
• Точки экстремума:
  • Локальный максимум при x = -√2.
  • Локальный минимум при x = √2.

Это анализ позволяет определить промежутки монотонности и точки экстремума функции y = x^4 - 4x^2.