Question

При каких значениях x числа a1 = sinx, a2 = 1/2 sin2x, a3 = sin3x образуют арифметическую прогрессию,разность которой больше нуля. Помогите решить.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: это можно решить через разность прогрессии.

Здесь два раза выражаем через разные числа разность прогрессии и приравниваем друг к другу, после чего выходит обычное тригонометрическое уравнение!

Answer 2

Для того чтобы числа a1, a2 и a3 образовывали арифметическую прогрессию, разность между последовательными членами должна быть одинаковой. То есть, a2 - a1 должно быть равно a3 - a2. Давайте найдем выражения для разностей между этими членами последовательности:

a2 - a1 = (1/2)sin(2x) - sin(x) a3 - a2 = sin(3x) - (1/2)sin(2x)

Теперь приравняем эти два выражения:

(1/2)sin(2x) - sin(x) = sin(3x) - (1/2)sin(2x)

Перенесем все члены на одну сторону:

(1/2)sin(2x) + (1/2)sin(2x) = sin(3x) + sin(x)

sin(2x) = sin(3x) + sin(x)

Используя тригонометрическое тождество для суммы синусов:

sin(2x) = 2sin(2x)cos(x)

Теперь поделим обе стороны на sin(2x) (поскольку sin(2x) ≠ 0):

1 = 2cos(x)

cos(x) = 1/2

Чтобы найти значения x, для которых это верно, мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса:

x = arccos(1/2)

x = π/3 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, значения x, при которых числа a1 = sin(x), a2 = 1/2sin(2x) и a3 = sin(3x) образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью, равны x = π/3 + 2πn, где n - целое число.