Question

Доведіть що число 3¹⁰⁰+1 ділиться на 2​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

3- непарне число. Якщо непарне помножити на непарне- отримаємо непарне. Тобто $3^{100}$ це непарне число.  1- теж непарне число, а якщо до непарного додати непарне, отримаємо парне. А будь-яке парне число ділиться на 2.

Answer 2

Число 3¹⁰⁰ + 1 можна представити у вигляді (3²)⁵⁰ + 1. Враховуючи біном Ньютона, ми можемо розкласти це вираз наступним чином:

(3²)⁵⁰ + 1 = (3²)⁵⁰ + 1⁵⁰

За формулою різниці квадратів, ми можемо переписати це як:

(3²)⁵⁰ + 1⁵⁰ = (3⁵⁰)² - 1⁵⁰

А це можемо факторизувати як різницю кубів:

(3⁵⁰)² - 1⁵⁰ = (3⁵⁰ - 1⁵⁰) * (3ⁱ⁰ + 3⁶⁰ + ... + 1)

Останній доданок в цій рівності є геометричною прогресією з першим членом 1 і знаменником 3⁵⁰. За формулою суми геометричної прогресії, сума цього ряду дорівнює:

3⁵⁰ / (3 - 1) = 3⁵⁰ / 2

Отже, ми отримали наступну рівність:

(3²)⁵⁰ + 1⁵⁰ = (3⁵⁰ - 1⁵⁰) * (3⁵⁰ / 2)

Тепер ми бачимо, що перший доданок, який є різницею квадратів, ділиться на 2 (оскільки різниця квадратів завжди ділиться на 2), а другий доданок (3⁵⁰ / 2) також є цілим числом. Отже, обидва доданки діляться на 2, а отже, весь вираз (3¹⁰⁰ + 1) також ділиться на 2.

Отже, ми довели, що число 3¹⁰⁰ + 1 ділиться на 2.