Question

F(p)= (2p+1)/(p^2+2p-8) найти оригинал f(t)

Answer 1

Ответ:

$f(t)=\frac{7}{6} e^{-4t}+\frac{5}{6} e^{2t}$

Пошаговое объяснение:

$F(p)=\frac{2p+1}{p^2+2p-8}$

Найдем корни знаменателя:

$p^2+2p-8=0 \\ p_1=-4; \ p_2=2$

Разложим дробь на простейшие множители:

$\frac{2p+1}{p^2+2p-8}=\frac{2p+1}{(p+4)(p-2)}=\frac{A}{p+4}+\frac{B}{p-2}$

Методом неопределенных коэффициентов находим А и В

$\frac{A}{p+4} +\frac{B}{p-2} =\frac{A(p-2)+B(p+4)}{(p+4)(p-2)} =\frac{2p+1}{(p+4)(p-2)} \\ \\ A(p-2)+B(p+4)=2p+1 \\ \\ 1) \ p=-4 \\ A(-4-2)+0=2*(-4)+1 \\ -6A=-7 \\ A=\frac{7}{6} \\ \\ 2) \ p=2 \\ 0+B(2+4)=2*2+1 \\ 6B=5 \\ B=\frac{5}{6}$

Тогда

$F(p)=\frac{7}{6} *\frac{1}{p+4} +\frac{5}{6} *\frac{1}{p-2} \ \xrightarrow{L^{-1}} \ \frac{7}{6} e^{-4t}+\frac{5}{6} e^{2t}$

Answer 2

Для нахождения оригинала функции $F(p)$ исходной функции $f(t)$ необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. Для этого сначала нужно разложить дробь на простейшие слагаемые:

$F(p) = \frac{2p+1}{p^2+2p-8} = \frac{2p+1}{(p-2)(p+4)} = \frac{A}{p-2} + \frac{B}{p+4}$

Решим уравнение для $A$ и $B$:

$2p+1 = A(p+4) + B(p-2)$

Подставляем $p = 2$:

$2(2) + 1 = A(2+4) + B(2-2)$ $5 = 6A$ $A = \frac{5}{6}$

Подставляем $p = -4$:

$2(-4) + 1 = A(-4+4) + B(-4-2)$ $-8 + 1 = -6B$ $B = -\frac{1}{6}$

Теперь можем выразить $F(p)$ через дроби простейших слагаемых:

$F(p) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{p-2} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{p+4}$

Теперь найдем оригинал $f(t)$ с помощью преобразования Лапласа:

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{p-2} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{p+4} \right\}$

Для нахождения обратного преобразования Лапласа воспользуемся таблицей преобразований Лапласа:

$\mathcal{L}^{-1} \{ e^{at} F(p) \} = f(t-a)u(t-a)$

где $u(t)$ - функция Хевисайда.

Применяя это к каждому слагаемому:

1. $\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{p-2} \right\} = \frac{5}{6} e^{2t} u(t-2)$

2. $\mathcal{L}^{-1} \left\{ -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{p+4} \right\} = -\frac{1}{6} e^{-4t} u(t)$

Итак, суммируя оба слагаемых:

$f(t) = \frac{5}{6} e^{2(t-2)} u(t-2) - \frac{1}{6} e^{-4t} u(t)$

Это и есть оригинал $f(t)$.