Question

У рівнобедреному прямокутному трикутнику з гіпотенузою 4 √2 точка М є серединою одного з катетів, а точка N серединою гіпотенузи. Знайти довжину відрізка MN

Answer 1

A=длина катета тогда за теоремой Пифагора и так как катеты равны(треугольник равнобедренный) то A^2+A^2=(4корень 2)^2 выходит 2А^2=16*2 А^2=16 А=4 MN средняя линия а значит её длина в 2 раза меньше A тоесть А/2=2

Answer 2

Позначимо рівнобедрений прямокутний трикутник таким чином:

• Нехай точка A є вершиною прямого кута.
• Точка B є серединою гіпотенузи.
• Точка C є вершиною прямокутного кута із катетом, в якому лежить точка M.
• Точка D є серединою катета, в якому лежить точка M.
• Точка E є вершиною прямокутного кута із катетом, в якому лежить точка N.
• Точка F є серединою гіпотенузи.

Ми маємо дану гіпотенузу BC, і хочемо знайти довжину відрізка MN.

За властивостями серединних перпендикулярів у трикутнику, точка D є серединою гіпотенузи BC, тобто BD = DC.

За аналогічними властивостями серединних перпендикулярів у трикутнику, точка F є серединою відрізка AE, тобто AF = EF.

Ми також знаємо, що трикутник ABC є рівнобедреним, тому AB = AC.

Загалом маємо:

• AB = AC
• BD = DC
• AF = EF

З огляду на рівність сторін AB = AC і властивість серединного перпендикуляра, ми можемо стверджувати, що трикутник ABD рівний трикутнику ADC за сторонами і кутами.

Тепер ми маємо подібність трикутників ABD і EFN за спільним кутом і спільною стороною AF = EF, тому ми можемо встановити пропорційність їх сторін:

BD / FN = AD / EN

Знаючи, що BD = DC, а також позначивши гіпотенузу BC як x, ми отримуємо:

x / FN = (x/2) / EN

Тепер ми можемо розв'язати відносно FN:

FN = x * EN / (x/2) FN = 2 * EN

Аналогічно, за подібністю трикутників FAE і FDN маємо:

AF / DN = EF / FN

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

4√2 / DN = 4 / 2 DN = √2

Отже, відрізок MN дорівнює:

MN = DN - FN MN = √2 - 2 * EN

За теоремою Піфагора у трикутнику AEC:

AE^2 + EC^2 = AC^2 (x/2)^2 + x^2 = (5x/2)^2 x^2/4 + x^2 = 25x^2/4 x^2 = 24x^2/4 x^2 = 6x^2 x^2 - 6x^2 = 0 -5x^2 = 0

Це рівняння має розв'язок x = 0, але з огляду на фізичний зміст завдання, ми відкидаємо цей розв'язок.

Отже, гіпотенуза BC дорівнює √2 * 4 = 4√2.

Підставимо це значення у вираз для MN:

MN = √2 - 2 * EN

Так як EN = BC / 4 = 4√2 / 4 = √2, то:

MN = √2 - 2 * √2 MN = √2 * (1 - 2) MN = -√2

Отже, довжина відрізка MN дорівнює -√2. Це може бути помилкою або неточністю в обчисленнях. Переконайтеся, що ви правильно передаєте і обчислюєте всі дані.