Question

Найти общее решение дифференциального уравнения (x+y)dx+(x+2y)dy=0

Answer 1

$(x + y)dx + (x + 2y)dy = 0$

$(x + 2y)dy = -(x + y)dx \ \ \ |:(x + 2y) \neq 0$

$dy = -\dfrac{x + y}{x + 2y} dx \ \ \ |:dx$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x + y}{x + 2y}$

$y' = -\dfrac{x + y}{x + 2y}$

Пусть $f(x,y) = -\dfrac{x + y}{x + 2y}$

Тогда $f(\lambda x,\lambda y) = -\dfrac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x + 2\lambda y}= -\dfrac{\lambda (x + y)}{\lambda (x + 2y)} =-\dfrac{x + y}{x + 2y} = \lambda^{0}f(x,y)$

Имеем однородную функцию $f(x,y)$ нулевого измерения.

Положим $\lambda = \dfrac{1}{x}$ в $f(\lambda x,\lambda y)$, то есть $f(x,y) = f \left(1; \ \dfrac{y}{x} \right)$

Тогда $y' = f \left(1; \ \dfrac{y}{x} \right)$. Замена: $u(x) = \dfrac{y}{x}$, откуда $y = u(x) \cdot x$ и $y' = u'(x) \cdot x + u(x)$

Здесь $u(x) = u$, тогда имеем уравнение:

$u'x + u = -\dfrac{x + ux}{x + 2ux}$

$u'x + u = -\dfrac{x(1 + u)}{x(1 + 2u)}$

$u'x = -\dfrac{1 + u}{1 + 2u} - u$

$u'x = -\dfrac{1 + u + u(1 + 2u)}{1 + 2u}$

$u'x = -\dfrac{1 + u + u + 2u^{2}}{1 + 2u}$

$\dfrac{du}{dx} \cdot x = -\dfrac{2u^{2} + 2u + 1}{1 + 2u}$

$\dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = -\dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = -\int \dfrac{dx}{x}$

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{4u + 2}{2u^{2} + 2u + 1} du = \left|\begin{array}{ccc}2u^{2} + 2u + 1 = t\\(4u + 2)du = dt\\\end{array}\right| =$

$= \displaystyle \dfrac{1}{2} \int \dfrac{dt}{t} = \dfrac{1}{2} \ln |t| + C_{1} = \dfrac{1}{2} \ln |2u^{2} + 2u + 1| + C_{1}$

$2) \ \displaystyle -\int \dfrac{dx}{x} = -\ln|x| + C_{2}$

$\dfrac{1}{2} \ln |2u^{2} + 2u + 1| + C_{1} = -\ln|x| + C_{2}$

$\ln \sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \ln\left|\dfrac{1}{x} \right| + \ln |C|$

$\ln \sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \ln\left|\dfrac{C}{x} \right|$

$\sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \left|\dfrac{C}{x} \right|$

$2u^{2} + 2u + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}$

Обратная замена:

$2\left(\dfrac{y}{x} \right)^{2} + 2\left(\dfrac{y}{x} \right) + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}$

$\dfrac{2y^{2}}{x^{2}} + \dfrac{2y}{x} + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}$

$\dfrac{2y^{2} + 2xy + x^{2}}{x^{2}} = \dfrac{C}{x^{2}}$

$2y^{2} + 2xy + x^{2} = C$ — общий интеграл

Ответ: $2y^{2} + 2xy + x^{2} = C$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделяющихся переменных. Давайте начнем с записи уравнения:

$(x+y)dx + (x+2y)dy = 0$

Чтобы разделить переменные и решить это уравнение, давайте выразим все слагаемые с "x" на одной стороне, а все слагаемые с "y" на другой стороне:

$(x+y)dx = -(x+2y)dy$

$\frac{dx}{x+y} = -\frac{dy}{x+2y}$

Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\int \frac{dx}{x+y} = -\int \frac{dy}{x+2y}$

Левая сторона интеграла:

Для интегрирования левой стороны мы можем воспользоваться методом подстановки. Пусть $u = x + y$, тогда $du = dx + dy$. Заметим, что верхний предел интегрирования также изменится при подстановке $u$. Поэтому:

$\int \frac{dx}{x+y} = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|x+y| + C_1$

Правая сторона интеграла:

Для интегрирования правой стороны мы также можем воспользоваться методом подстановки. Пусть $v = x + 2y$, тогда $dv = dx + 2dy$. Заметим аналогично, что верхний предел интегрирования изменится:

$-\int \frac{dy}{x+2y} = -\int \frac{dv}{v} = -\ln|v| + C_2 = -\ln|x+2y| + C_2$

Итак, у нас есть следующее:

$\ln|x+y| + C_1 = -\ln|x+2y| + C_2$

Мы можем объединить константы $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$:

$\ln|x+y| = -\ln|x+2y| + C$

Применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

$|x+y| = e^C \cdot |x+2y|$

Так как константа $e^C$ может быть положительной, мы можем заменить её новой константой $K$, получив:

$|x+y| = K \cdot |x+2y|$

Теперь давайте разберемся с модулями:

1. Если $x+y$ и $x+2y$ положительны (оба положительны), у нас будет: $x+y = K \cdot (x+2y)$

2. Если $x+y$ и $x+2y$ отрицательны (оба отрицательны), у нас также будет: $-(x+y) = K \cdot -(x+2y)$ что эквивалентно: $x+y = K \cdot (x+2y)$

3. Если $x+y$ положительно, а $x+2y$ отрицательно, у нас будет: $x+y = K \cdot -(x+2y)$

4. Если $x+y$ отрицательно, а $x+2y$ положительно, у нас будет: $-(x+y) = K \cdot (x+2y)$

Общее решение будет выглядеть как совокупность всех этих случаев:

$x+y = K \cdot |x+2y|$

где $K$ - произвольная константа.