Question

Решите уравнение 3 sin²х−cosх=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

3(1-cos^2 x) -cosx-1=0,  3-3cos^2 x-cosx-1=0,  3cos^2 x+cosx-2=0,

cosx=t,  3t^2+t-2=0,  D=1+24=25,   t1=(-1+5)/6=2/3,  t2=(-1-5)/6=-1,

cosx=2/3,  x=+- arccos 2/3 +2pn,

cosx=-1,  x=p+2pn,  n   E   Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте сначала преобразуем его, чтобы получить выражение только с одной функцией синуса или косинуса. Заметим, что у нас есть уравнение с квадратом синуса и линейной функцией косинуса. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы выразить квадрат синуса через косинус:

$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$.

Теперь мы можем подставить это выражение в исходное уравнение:

$3(1 - \cos^2(x)) - \cos(x) = 1$.

Раскроем скобки:

$3 - 3\cos^2(x) - \cos(x) = 1$.

Переносим все члены в одну сторону:

$3\cos^2(x) + \cos(x) - 2 = 0$.

Теперь это уравнение квадратное относительно $\cos(x)$. Мы можем решить его, используя обычные методы решения квадратных уравнений. Давайте заменим $\cos(x)$ буквой $t$ для удобства:

$3t^2 + t - 2 = 0$.

Теперь факторизуем это уравнение или воспользуемся квадратным корнем:

$(3t - 2)(t + 1) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

1. $3t - 2 = 0$, тогда $t = \frac{2}{3}$.
2. $t + 1 = 0$, тогда $t = -1$.

Теперь мы должны вернуться к $\cos(x)$, зная, что $t = \cos(x)$:

1. $\cos(x) = \frac{2}{3}$.
2. $\cos(x) = -1$.

Для первого уравнения, чтобы найти $x$, нам нужно найти обратный косинус:

$x = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

Для второго уравнения:

$x = \pi$ (или любое другое угловое значение, которое имеет косинус -1).

Итак, решения уравнения $3\sin^2(x) - \cos(x) = 1$ это:

1. $x = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.
2. $x = \pi$ (или другие угловые значения с косинусом -1).