Question

Пожалуйста помогите решить уравнение Dy/dx=(1+x)/(x^2*y^2)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то есть переменные x и y могут быть разделены в левой и правой частях уравнения.

Начнем с исходного уравнения: $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{x^2 y^2}$

Чтобы разделить переменные, переместим все, что зависит от y, в левую часть уравнения, а все, что зависит от x, в правую часть: $y^2 dy = \frac{1+x}{x^2} dx$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения: $\int y^2 dy = \int \frac{1+x}{x^2} dx$

Левая сторона: $\frac{1}{3} y^3 + C_1$

Правая сторона: $\int \frac{1+x}{x^2} dx = \int \left( x^{-2} + x^{-1} \right) dx = -x^{-1} + \ln |x| + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение: $\frac{1}{3} y^3 + C_1 = -x^{-1} + \ln |x| + C_2$

Мы можем объединить постоянные интегрирования в одну, назовем её $C$: $\frac{1}{3} y^3 = -x^{-1} + \ln |x| + C$

Чтобы решить это уравнение относительно $y$, нужно изолировать $y$: $y^3 = 3 \left( -x^{-1} + \ln |x| + C \right)$

$y = \sqrt[3]{3 \left( -x^{-1} + \ln |x| + C \right)}$

Таким образом, это является общим решением данного дифференциального уравнения.