Question

ПОМОГИТЕ ПРОШУ ЭТО МОЯ ПОСЛЕДНЯЯ НАДЕЖДА!!! При каждом n найдите сумму: 4n×(4n-1)-(4n-2)×(4n-3)+(4n-4)×(4n-5)-.... +4×3-2×1 Пожалуйста помогите решить!!!

Answer 1

Ответ:

2n(4n+1)

Пошаговое объяснение:

4n×(4n-1)-(4n-2)×(4n-3)=16n-6

Следующую пару можно записать как

(4(n-1))×(4(n-1)-1)-(4(n-1)-2)×(4(n-1)-3)=16(n-1)-6

И так далее

Таким образом нам надо найти сумму ряда с общим членом 16i-6. А она равна 16×n×(n+1)/2-6n=2n(4n+1)

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эту задачу. Данная сумма может быть рассмотрена как разность двух сумм: одна содержит только четные слагаемые, а другая - только нечетные. Давайте разберемся с каждой частью по отдельности.

1. Сначала рассмотрим сумму четных слагаемых: S_even = 4n * (4n-1) + 4n-2 * (4n-3) + ... + 4 * 3

   Мы можем заметить, что каждое слагаемое может быть представлено как произведение двух последовательных четных чисел: S_even = 4n * (4n-1) + 4n-2 * (4n-3) + ... + 4 * 3 = 4n * (4n-1) + 4n-2 * (4n-3) + ... + 12

   Теперь мы можем факторизовать каждое слагаемое и упростить выражение: S_even = 4n * 4 * (n-1) + 4 * (n-1) * (4n-3) + ... + 12 = 16n * (n-1) + 4 * (n-1) * (4n-3) + ... + 12

   Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель 4 * (n-1) в каждом слагаемом. Мы можем вынести его за скобки: S_even = 4 * (n-1) * (16n + 4n-3 + ... + 3)

   Теперь заметим, что внутри скобок у нас есть арифметическая прогрессия, начиная с 16n, с разностью -12 (каждое следующее слагаемое уменьшается на 12). Сумму арифметической прогрессии можно найти по формуле: S_even = 4 * (n-1) * (сумма арифметической прогрессии) = 4 * (n-1) * [(первое слагаемое + последнее слагаемое) * количество слагаемых / 2] = 4 * (n-1) * [(16n + 3) * n / 2]

2. Теперь рассмотрим сумму нечетных слагаемых: S_odd = (4n-2) * (4n-3) + (4n-4) * (4n-5) + ... + 2 * 1

   Аналогично предыдущей части, каждое слагаемое можно представить как произведение двух последовательных нечетных чисел: S_odd = (4n-2) * (4n-3) + (4n-4) * (4n-5) + ... + 2 * 1 = (4n-2) * (4n-3) + (4n-4) * (4n-5) + ... + 2

   Факторизуем общий множитель 2 из каждого слагаемого: S_odd = 2 * [(2n-1) * (4n-3) + (2n-2) * (4n-5) + ... + 1]

   Внутри скобок у нас снова есть арифметическая прогрессия с начальным членом (2n-1) и разностью -2: S_odd = 2 * [(первое слагаемое + последнее слагаемое) * количество слагаемых / 2] = 2 * [(2n-1 + 1) * n / 2] = 2 * n * 2n = 4n^2

Теперь мы можем найти общую сумму, вычитая сумму нечетных слагаемых из суммы четных слагаемых:

Общая сумма = S_even - S_odd = 4 * (n-1) * [(16n + 3) * n / 2] - 4n^2 = 2 * n * (8n^2 - 4n + 3n - 4n^2) = 2 * n * (4n^2 - 4n + 3n) = 2 * n * (4n^2 - n) = 8n^3 - 2n^2

Таким образом, сумма данного ряда равна 8n^3 - 2n^2.