Question

Який кут в градусах утворюють одиничні вектори а і с, якщо вектори а+2с і 5а-4с є взаємно перпендикулярними? ​

Answer 1

Вектори взаємно перепендикулярні тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

$( \overline{a}+2 \overline c)(5 \overline a-4 \overline c)=0\\5 \overline a^2+10 \overline a \cdot \overline c- 4 \overline a \cdot \overlinie c - 8 \overline c^2=5 \overline a^2+6 \overline a \cdot \overline c-8 \overline c^2=0$

Скалярний квадрат одиничних векторів дорівнює одиниці:

$5+6 \overline a \cdot \overline c-8=0\\6 \overline a \cdot \overline c=3\\ \overline a \cdot \overline c=\dfrac{1}{2}$

Скалярний добуток дорівнює добутку модулів векторів на косинус кута між ними. Позначимо цей кут літерою $\varphi$. Модулі ми знаємо, тому знайдемо косинус, а затим — кут:

$\overline a \cdot \overline c=|a| \cdot |c| \cdot \cos \varphi=\dfrac{1}{2}\\1 \cdot 1 \cdot \cos \varphi = \dfrac{1}{2}\\\cos \varphi = \dfrac{1}{2}\\\\\varphi_1=60^{\circ}\\\varphi_2=300^{\circ}$

Відповідь: 60° або 300° (залежить від того, як орієнтовані вектори: проти годинної стрілки чи за).

Answer 2

Давайте розглянемо умову задачі. Вам дані вектори a і c, і вам відомо, що вектори a + 2c і 5a - 4c є взаємно перпендикулярними. Це означає, що їхні скалярні добутки дорівнюють нулю:

(a + 2c) * (5a - 4c) = 0.

Розглянемо цей скалярний добуток:

(a + 2c) * (5a - 4c) = 5a * a + 5a * (-4c) + 2c * 5a + 2c * (-4c).

Зберігаючи тільки крос-терміни (тобто терміни, де один вектор a, а інший - вектор c), отримаємо:

5a * (-4c) + 2c * 5a = -20ac + 10ac = -10ac.

Отже, умова перпендикулярності стає:

-10ac = 0.

Це означає, що вектори a і c є паралельними (або один з них нульовий). Однак, з умови задачі неможливо визначити конкретний кут між векторами a і c без додаткової інформації.

Таким чином, ми не можемо визначити точний кут між векторами a і c лише за наданою умовою.