Question

1. Докажите, что число 17+1717+171717 делится на 17. 2. Числа n и m целые. Докажите, что число m*n*(m+n) четное.3. Известно, что a и b целые числа и 7a+5b=111 a b. Может ли число a+b быть четным?Хоть что-то пожалуйста!

Answer 1

1. Доказывать, в принципе, и нечего. Каждое из слагаемых суммы 17 + 1717 + 171717 делится на 17 (легко проверить, что 1717 : 17 = 101, 171717 : 17 = 10101), а значит и все сумма делится на 17.

2.  Рассмотрим все возможные случаи.

1) если каждое из чисел n и m четное, то утверждение, очевидно, верно (можно легко проверить: если n = 2k, m = 2l, то mn(m+n) = 2k · 2l · 2(k + l) - очевидно, четное, т.к. имеется множитель-двойка).

2) если одно из чисел n и m - четное, а другое - нечетное, то утверждение вновь верно в силу того же, что и в первом случае. (допустим, n = 2k, m = 2l + 1. Итого mn(m+n) = 2k(2l + 1)(2k + 2l + 1). Сразу виден множитель-двойка, из чего следует, что произведение на 2 делится.

3) если каждое из чисел является нечетным (n = 2k + 1, m = 2l + 1), то имеем: mn(m+n) = (2k + 1)(2l + 1)(2k + 1 + 2l + 1) = (2k + 1)(2l + 1) · 2(k + l + 1). И опять есть двойка. Делаем вывод, что и в этом случае произведение делится на 2.

Утверждение доказано.

3. 7a + 5b = 111ab.

Если подберем такую пару (a, b), что сумма (a + b) будет четной, то ответ будет положительным.

Пара (0, 0) железно удовлетворяет всем условиям: 0 + 0 = 0, сумма (a + b) = 0 + 0 = 0 - четная, т.к. 0 - четное число.

ОТВЕТ: да, может

Answer 2

1. Для доказательства того, что число 17+1717+171717 делится на 17, мы можем использовать арифметическую операцию модуля, чтобы проверить, делится ли сумма на 17 без остатка.

17 + 1717 + 171717 = 173451

Теперь мы проверяем, делится ли 173451 на 17 без остатка:

173451 mod 17 = 0

Таким образом, число 17+1717+171717 делится на 17 без остатка.

2. Для доказательства, что число mn(m+n) четное, мы должны рассмотреть два случая: когда n и m являются четными числами, и когда они являются нечетными числами.

Случай 1: Если n и m - четные числа, то mn(m+n) будет произведением трех четных чисел. Произведение четных чисел всегда будет четным числом.

Случай 2: Если n и m - нечетные числа, то mn(m+n) будет произведением трех нечетных чисел, а сумма трех нечетных чисел всегда будет четной. Таким образом, произведение трех нечетных чисел также будет четным числом.

Таким образом, в обоих случаях число mn(m+n) является четным числом.

3. Для доказательства, может ли число a+b быть четным, когда 7a+5b=111, мы можем рассмотреть два возможных случая: a и b являются четными числами, и a и b являются нечетными числами.

Случай 1: Если a и b - четные числа, то 7a и 5b будут четными числами, так как произведение четного числа на любое другое число также будет четным. Таким образом, сумма 7a+5b будет четным числом.

Случай 2: Если a и b - нечетные числа, то 7a и 5b будут нечетными числами, так как произведение нечетного числа на нечетное число также будет нечетным. Таким образом, сумма 7a+5b будет нечетным числом.

Таким образом, число a+b может быть четным только в случае, если и a, и b являются четными числами.