Question

Найти значение тригонометрического выражения: cos4455°-cos(-2225°)+ctg1035°

Answer 1

$cos\left ( 4455^{\circ} \right )-cos\left ( -2225^{\circ} \right )+ctg\left ( 1035^{\circ} \right )\\cos\left ( 135^{\circ}+12\cdot 2\pi \right )+cos\left ( 65^{\circ}+6\cdot 2\pi \right )+ctg\left ( 135^{\circ}+5\cdot \pi \right )\\cos\left ( 135^{\circ} \right )+cos\left ( 65^{\circ} \right )+ctg\left ( 135^{\circ} \right )\\-\frac{\sqrt{2}}{2}-cos\left ( 65^{\circ} \right )-1$

Answer 2

Давайте посчитаем значение данного тригонометрического выражения поочередно:

1. cos(4455°): Так как период косинуса равен 360°, мы можем вычислить остаток при делении 4455 на 360: 4455 ÷ 360 = 12, остаток 315 Таким образом, cos(4455°) эквивалентен cos(315°), а так как косинус угла 315° равен -√2/2: cos(4455°) = -√2/2

2. cos(-2225°): Так как косинус является четной функцией, то cos(-x) = cos(x). Следовательно: cos(-2225°) = cos(2225°)

Аналогично предыдущему шагу, найдем остаток: 2225 ÷ 360 = 6, остаток 185 Таким образом, cos(2225°) эквивалентен cos(185°), а косинус угла 185° равен -√3/2: cos(2225°) = -√3/2

3. ctg(1035°): Сначала найдем котангенс угла 1035°. Так как котангенс является обратной функцией тангенсу, то ctg(x) = 1 / tan(x). tan(1035°) = tan(1035° - 6 * 360°) = tan(15°) Известно, что tan(15°) = 2 - √3, следовательно: ctg(1035°) = 1 / (2 - √3)

Теперь подставим найденные значения обратно в исходное выражение: cos4455° - cos(-2225°) + ctg1035° = -√2/2 - (-√3/2) + 1 / (2 - √3)

Сложим первые два члена: -√2/2 + √3/2 = (√3 - √2) / 2

Подставим результат в оставшееся слагаемое: (√3 - √2) / 2 + 1 / (2 - √3)

Для удобства объединим дроби под общим знаменателем (умножим вторую дробь на сопряженное значение): (2(√3 - √2) + 1) / (2 - √3)

Упростим числитель: 2√3 - 2√2 + 1

Итак, окончательное значение тригонометрического выражения: (2√3 - 2√2 + 1) / (2 - √3)