Question

Найдите наименьшее натуральное значение а, при котором уравнение 27x^6 + (а – 2x)^3 + 9x^2 + За – 6х не имеет корней.​

Answer 1

Ответ: Я полагаю, что решается как-то так.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и постараемся понять, при каком наименьшем натуральном значении а оно не будет иметь корней.

Уравнение: 27x^6 + (а – 2x)^3 + 9x^2 + За – 6х = 0

Перепишем уравнение, учитывая, что 3-я степень разности двух выражений раскладывается по формуле суммы кубов:

27x^6 + (a – 2x)^3 + 9x^2 + За – 6x = 0 27x^6 + (a^3 - 6a^2x + 12ax^2 - 8x^3) + 9x^2 + За – 6x = 0

Теперь объединим все члены уравнения:

27x^6 + a^3 - 6a^2x + 12ax^2 - 8x^3 + 9x^2 + За – 6x = 0

Сгруппируем члены по степеням x:

27x^6 - 8x^3 + (12a + 9)x^2 + (-6a^2 - 6)x + a^3 + За = 0

Мы хотим, чтобы данное уравнение не имело корней. Для этого коэффициенты при каждой степени x должны равняться нулю:

Коэффициент при x^6: 27 = 0 (это не выполняется, так что можно не продолжать).

Коэффициент при x^3: -8 = 0 (не выполняется).

Коэффициент при x^2: 12a + 9 = 0.

Коэффициент при x^1: -6a^2 - 6 = 0.

Коэффициент при x^0 (свободный член): a^3 + За = 0.

Из условий коэффициентов для x^2 и x^1 мы можем выразить "a" в виде:

12a + 9 = 0 a = -9/12 a = -3/4

И

-6a^2 - 6 = 0 a^2 = -1 a = √(-1) a = i

Получается, что получившееся значение "a" комплексное (мнимое). Но так как мы ищем наименьшее натуральное значение "a", комплексные значения не подходят. Таким образом, нет натурального значения "a", при котором данное уравнение не имеет корней.