Question

В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 2, а сумма третьего и пятого членов равна 40. Найти шестой член прогрессии.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

b1=2

b₃+b₅=544

b₁*q^2+b₁ *q^4=544

2*(q^2+q^4)=544

q^4+q^2=272

q^4+q^2-272=0 - получили биквадратное уравнение

пусть q^2=y, решаем квадратное уравнение

y^2+y=272

D=1089, √1089=33

y1=-17, y2=16

q^2=-17 - действительных корней нет; q^2=16, q=-4, q=4/

Так как прогрессия знакочередующаяся, то q=-4

Найдем b2:

b2=2*(-4)= -8

Answer 2

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $a$, а её знаменатель (отношение) как $r$. Тогда в общем виде $n$-ый член прогрессии будет равен $a \cdot r^{(n-1)}$.

Известно, что первый член равен 2, то есть $a = 2$. Теперь мы можем записать сумму третьего и пятого членов:

$S = a \cdot r^2 + a \cdot r^4 = 2 \cdot r^2 + 2 \cdot r^4.$

Согласно условию, эта сумма равна 40:

$2 \cdot r^2 + 2 \cdot r^4 = 40.$

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно $r$. Поделим обе стороны на 2:

$r^2 + r^4 = 20.$

Подставим $r^2$ как переменную $x$:

$x + x^2 = 20.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

$x^2 + x - 20 = 0.$

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуя, получаем:

$(x - 4)(x + 5) = 0.$

Отсюда видно, что $x = 4$ или $x = -5$. Но мы ищем положительное значение $r$, так как геометрическая прогрессия имеет положительное отношение. Таким образом, $r^2 = 4$, и $r = 2$.

Теперь, зная $r = 2$, мы можем найти шестой член прогрессии:

$a \cdot r^5 = 2 \cdot 2^5 = 2 \cdot 32 = 64.$

Итак, шестой член знакочередующейся геометрической прогрессии равен 64.