Question

В треугольнике `ABC` его медианы `A A_1`, `B B_1` и `C C_1` пересекаются в точке `O`. Середины отрезков `OA`, `OB` и `OC` обозначены соответственно `A_2`, `B_2` и `C_2`. Выразите периметр шестиугольника `A_2C_1B_2A_1C_2B_1`  через медианы `m_a=A A_1`, `m_b=B B_1`, `m_c=C C_1`. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА . ДАЮ 20 БАЛЛОВ. ДАЙТЕ ПОЖАЛУЙСТА ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ

Answer 1

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

$AO=\frac{2}{3} m_{a}$

$BO=\frac{2}{3} m_{b}$

$CO=\frac{2}{3} m_{c}$

$A_{2}C_{1}$   и   $A_{1}C_{2}$ -  средние линии треугольников  АОВ и ВОС

$A_{2}C_{1}|| A_{1}C_{2}||BO$

$A_{2}C_{1}$   =   $A_{1}C_{2}$   =  $\frac{1}{2} BO=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} m_{b}=\frac{1}{3} m_{b}$

$B_{1}A_{2}$   и   $B_{2}A_{1}$ -  средние линии треугольников  АОС и ВОС

$B_{1}A_{2}|| B_{2}A_{1}||CO$

$A_{2}C_{1}$   =   $A_{1}C_{2}$   =  $\frac{1}{2} CO=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} m_{c}=\frac{1}{3} m_{c}$

$C_{1}B_{2}$   и   $C_{2}B_{1}$  -  средние линии треугольников  АОВ и АОС

$C_{1}B_{2}|| C_{2}B_{1}|| AO$

$A_{2}C_{1}$   =   $A_{1}C_{2}$   =  $\frac{1}{2} AO=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} m_{b}=\frac{1}{3} m_{a}$

$P=2\cdot (\frac{1}{3} m_{a}+\frac{1}{3} m_{b}+\frac{1}{3} m_{c})$

Answer 2

Рассмотрим треугольник ABC и его медианы. Поскольку медиана делит сторону пополам, точка пересечения медиан (точка O) делит каждую медиану в отношении 2:1, где более длинный отрезок соответствует отрезку от вершины до точки пересечения.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник A_2OC_1. Он представляет собой треугольник, в котором одна из сторон - это медиана треугольника ABC (медиана медианы), а две другие стороны - это отрезки, соединяющие середины сторон треугольника ABC с точкой O (половины медиан). Этот треугольник является парадоксально известным как треугольник Мерсенна.

Согласно теореме Герона, площадь треугольника можно выразить через длины его сторон:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ - полупериметр треугольника, $a$, $b$ и $c$ - длины его сторон.

В треугольнике A_2OC_1 медиана медианы равна половине медианы треугольника ABC, то есть $m_a/2$, а стороны треугольника равны половинам медиан ABC: $m_b/2$ и $m_c/2$.

Таким образом, площадь треугольника A_2OC_1:

$S_{A_2OC_1} = \sqrt{p_{A_2OC_1} \cdot \left(p_{A_2OC_1} - \frac{m_a}{2}\right) \cdot \left(p_{A_2OC_1} - \frac{m_b}{2}\right) \cdot \left(p_{A_2OC_1} - \frac{m_c}{2}\right)}$

где $p_{A_2OC_1}$ - полупериметр треугольника A_2OC_1.

Аналогично, можно рассмотреть треугольники B_2OA_1 и C_2OB_1.

Теперь периметр шестиугольника A_2C_1B_2A_1C_2B_1:

$P = A_2C_1 + C_1B_2 + B_2A_1 + A_1C_2 + C_2B_1 + B_1A_2$

Так как каждая из сторон шестиугольника представляет собой отрезок между серединами сторон треугольника ABC и точкой O, можно записать:

$P = \frac{m_a}{2} + \frac{m_b}{2} + \frac{m_c}{2} + \frac{m_b}{2} + \frac{m_c}{2} + \frac{m_a}{2}$

Упрощая выражение:

$P = m_a + m_b + m_c$

Таким образом, периметр шестиугольника можно выразить как сумму длин медиан треугольника ABC:

$P = m_a + m_b + m_c$

Итак, периметр шестиугольника A_2C_1B_2A_1C_2B_1 равен $m_a + m_b + m_c$, что и требовалось выразить.