Question

У коробці лежать олівці. Якщо їх рахувати по десять, то вийде ціле число десятків, якщо рахувати по 12, то знову буде ціле число. Скількиолівців у коробці, якщо олівців більше за 200, але менше від 300?​

Answer 1

Пусть х - количество карандашей в коробке.
Известно, что 200 < х < 300

Разложим число 12 на простые множители: 12 = 2 • 2 • 3
Разложим число 10 на простые множители:
10 = 2 • 5

Определим НОК чисел 10 и 12. Для этого необходимо недостающие множители меньшего числа (это 5) добавить к множителям большего числа (это 2• 2• 3) и перемножить их:
НОК (10; 12) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60

Это значит, что минимальное количество карандашей которое при делении на 10 и при делении на 12 дают целые числа.
60 : 10 = 6
60 : 12 = 5

Все любые следующие количества должны быть кратны 60:
То есть
120; 180; 240; 300; 360 и т.д.

Рассмотрим 120 карандашей:
120 : 10 = 12
120 : 12 = 10
Получаются целые числа, но 120 не попадает в интервал 200 < х < 300

Рассмотрим 180 карандашей:
180 : 10 = 18
180 : 12 = 15
Получаются целые числа, но 180 не попадает в интервал 200 < х < 300

Рассмотрим 240 карандашей:
240 : 10 = 24
240 : 12 = 20
Получаются целые числа, и 240 попадает в интервал 200 < х < 300
200 < 240 < 300 - значит ЭТО РЕШКНИЕ ПОДХОДИТ к условию задачи.

Рассмотрим 300 карандашей:
300 : 10 = 30
300 : 12 = 25
Получаются целые числа, но 300 выходит за пределы интервала. 200 < х < 300, то есть количество карандашей по условию должно быть меньше, чем 300.

Ответ: в коробке 240 карандашей.

Answer 2

Нехай кількість олівців у коробці дорівнює N. За умовою маємо два рівняння:

1. N = 10k, де k - ціле число (кількість десятків).
2. N = 12m, де m - ціле число (кількість дванадцяток).

Ми шукаємо таке N, яке задовольняє обидва рівняння, тобто таке N, для якого знайдуться такі цілі k та m, що N = 10k = 12m.

Оскільки GCD(10, 12) = 2, ми можемо поділити обидва боки рівняння на 2:

5k = 6m.

Це рівняння має безліч розв'язків. Один з можливих підходів - взяти k = 6 та m = 5:

N = 10k = 10 * 6 = 60.

Отже, в коробці має бути 60 олівців.