Question

Определить является ли число 1997 в степени 1997 - 1 простым или составным. ​

Answer 1

Ответ:

$1997^{1997}-1$ - составное

Пошаговое объяснение:

1. Простым числом называется число которое делится на единицу и на самого себя.
2. Любое нечётное число в целой степени будет нечётным.
3. Нечётное число минус один будет чётное => будет делится на 2 => будет составным

Из выше перечисленных фактов $1997^{1997}$ - нечётное, а $1997^{1997}-1$ делится на 2 и является составным

Answer 2

Определить, является ли число 1997 в степени 1997 - 1 простым или составным, можно с использованием теста на простоту. Один из наиболее распространенных тестов на простоту - это тест Миллера-Рабина. Однако для такого большого числа, как 1997 в степени 1997 - 1, обычно требуется использование более эффективных алгоритмов, таких как тест Лукаса-Лемера.

Так как число 1997 является простым числом, можно воспользоваться тестом Лукаса-Лемера для определения простоты числа 1997 в степени 1997 - 1. Однако данный тест требует достаточно сложных вычислений.

Вместо этого можно воспользоваться более простым и менее точным тестом Ферма. Тест Ферма утверждает, что если число p является простым и a - целое число, не кратное p, то a в степени (p-1) по модулю p должно быть равно 1.

В данном случае, чтобы проверить, является ли число 1997 в степени 1997 - 1 простым или составным, нужно выбрать случайное целое число a, которое не кратно 1997, и проверить выполнение условия a^(1997-1) ≡ 1 (mod 1997).

Давайте выберем a = 2 и проверим это условие:

2^(1997-1) ≡ 1 (mod 1997)

Вычислим это значение:

2^1996 ≡ 1 (mod 1997)

При вычислении этого значения с помощью программного кода или компьютерной программы, мы получаем:

2^1996 ≡ 1 (mod 1997)

Таким образом, на основе теста Ферма, мы можем сделать предположение, что число 1997 в степени 1997 - 1 является простым числом. Однако, для окончательного доказательства, требуется использовать более точные алгоритмы, такие как тест Лукаса-Лемера.