Question

Найти наименьшее значение функции y=(x-6)(x-8)+11 на отрезке [-2; 10].

Answer 1

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на каком-то заданном отрезке, первым делом необходимо найти значение функции в пределах этого отрезка.

Это мы сейчас и сделаем:

1.

х1 = -2

у1 = (-2-6) • (-2-8) + 11 = 91

2.

х2 = 10

у2 = (10-6) • (10-8) + 11 = 19

3.

Сейчас необходимо найти производную данной функции, приравнять её нулю и решить полученное уравнение, чтобы найти точку экстремума, а если быть точнее, то минимума, а затем подставить эту точку минимума в саму функцию и найти её значение, но для всего этого сначала надо эту функцию упростить.

у = (х-6)(х-8)+11 = х²-8х-6х+48+11=

= х² - 14х + 59

Сейчас найдём производную:

у' = (х² - 14х + 59)' = 2х - 14 = 0

х = 7 → вот та самая точка минимума

Подставим её в саму функцию:

у3 = (7-6) • (7-8) + 11 = 10

Сравнивая значения у1, у2 и у3, мы придём к выводу, что у3 является самым меньшим из них, и потому, наименьшим значением функции на заданном промежутке.

Кстати, у3 можно найти и многими другими путями. Вот двое из них, например:

1) у = (х-6) • (х-8) + 11 = х² - 14х + 59 =

= х² - 14х + 49 + 10 = (х-7)² + 10

Если квадратная функция имеет вид:

у = (х - m)² + n, то число n является её наименьшим значением.

То есть, у3 = 10.

2) Надо найти координаты вершины параболы. Значение у0 в точке вершины будет соответствовать наименьшему значению функции.

Координата х0 находится по трём путям:

• По формуле: х0 = -b/2a, если функция имеет вид: у = х² + bx + c.

При этом виде также можно найти значение у0 по формуле:

у0 = (4ас - b²)/4a.

• По формуле: х0 = (k+q)/2, если функция имеет вид: у = (x - k)(x - q).

• х0 равен m, если функция имеет вид: у = (х - m)² + n. А n здесь - это и есть у0.

А значение у0 находится при подставлении значения х0 в функцию.

Зная эти формулы, можно сразу определить наименьшее значение данной функции. Сделаем это двумя путями.

1) Когда функция имеет второй вид, указанный ранее:

у = (х - 6)(х - 8) + 11

х0 = (6+8)/2 = 7

у0 = (7-6)(7-8)+11 = 10 → ответ.

2) Когда функция имеет первый вид, указанный ранее:

у = х² - 14х + 59

х0 = -(-14)/2 = 14/2 = 7

у0 = (7-6)(7-8)+11 = 10 → ответ.

Итак, мы нашли наименьшее значение функции трёмя возможными способами.

Ответ: наименьшее значение функции равно 10.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, необходимо найти точку, где производная функции равна нулю или точку, где происходит переход от убывания функции к возрастанию. В данном случае, так как функция является параболой вида y = (x - 6)(x - 8) + 11, она будет иметь вершину в точке минимума.

Для начала, найдем производную функции: y' = 2x - 14

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2x - 14 = 0 2x = 14 x = 7

Таким образом, точка минимума функции находится при x = 7.

Теперь найдем значение функции в этой точке: y = (7 - 6)(7 - 8) + 11 y = (1)(-1) + 11 y = -1 + 11 y = 10

Таким образом, наименьшее значение функции y = (x - 6)(x - 8) + 11 на отрезке [-2; 10] равно 10 и достигается при x = 7.