Question

Найдите все такие натуральные значения n, при которых является натуральным числом выражение: (3n + 14) /(n+2)

Answer 1

Ответ: n=2 ;  n=6

Пошаговое объяснение: разделим числитель на знаменатель. получим 3+(8/(n+2))

нас интересуют натуральные n, при которых дробь 8/(n+2) является натуральным числом.

при n=2   8/(n+2)=2

при n=6   8/(n+2)=1

Answer 2

Для того чтобы выражение (3n + 14) / (n + 2) было натуральным числом, оно должно делиться нацело, то есть не иметь остатка при делении.

Мы можем записать это условие как:

(3n + 14) % (n + 2) = 0,

где % обозначает операцию нахождения остатка от деления.

Рассмотрим возможные значения остатка от деления (3n + 14) на (n + 2). Остаток может быть от 0 до (n + 1), так как остаток не может быть больше делителя.

Теперь пройдемся по всем возможным значениям остатка:

1. Остаток 0: (3n + 14) % (n + 2) = 0 Это означает, что (3n + 14) делится на (n + 2) без остатка. (3n + 14) / (n + 2) = k, где k - натуральное число.

2. Остаток 1: (3n + 14) % (n + 2) = 1 В этом случае выражение не делится нацело.

3. Остаток 2: (3n + 14) % (n + 2) = 2 В этом случае также нет деления нацело.

4. ... Продолжая аналогично, остаток не может быть больше (n + 1), и ни одно из последующих значений не даст деления нацело.

Таким образом, единственное значение остатка, при котором выражение может быть натуральным числом, это остаток 0. Это означает, что (3n + 14) должно делиться на (n + 2) без остатка.

Мы можем записать это как уравнение:

(3n + 14) % (n + 2) = 0.

Теперь решим это уравнение:

(3n + 14) % (n + 2) = 3n + 14 - k(n + 2) = 0, где k - натуральное число.

Раскроем скобки:

3n + 14 - kn - 2k = 0, (3 - k)n + (14 - 2k) = 0.

Так как n - натуральное число, то (3 - k) должно быть равно 0, чтобы уравнение выполнялось:

3 - k = 0, k = 3.

Таким образом, единственное натуральное значение n, при котором выражение (3n + 14) / (n + 2) является натуральным числом, это n = 3.