Question

Докажите равенство tg2x(1+cos4x)-sin4x=0

Answer 1

Ответ:(сos^2(2x)-sin^2(2x)*tg2x-sin4x=1/2sin4x-sin^3(2x)/cos2x-sin4x=

=-sin2x(sin^2(2x)/cos2x+cos2x)=-sin2x/cos2x=-tg2x

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

tg(2x) = sin(2x) / cos(2x)

cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x) = (1 - sin^2(2x)) - sin^2(2x) = 1 - 2sin^2(2x)

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)

Заменим эти выражения в исходном уравнении:

tg(2x)(1 + cos(4x)) - sin(4x) = 0

(sin(2x) / cos(2x))(1 + (1 - 2sin^2(2x))) - 2sin(2x)cos(2x) = 0

(sin(2x) / cos(2x))(2 - 2sin^2(2x)) - 2sin(2x)cos(2x) = 0

2sin(2x) - 2sin^3(2x) - 2sin(2x)cos(2x) + 2sin^3(2x) - 2sin(2x)cos(2x) = 0

2sin(2x) - 4sin(2x)cos(2x) = 0

2sin(2x)(1 - 2cos(2x)) = 0

Теперь мы имеем два возможных случая:

1. sin(2x) = 0

Если sin(2x) = 0, то 2x = kπ, где k - целое число.

Тогда x = kπ / 2.

2. 1 - 2cos(2x) = 0

2cos(2x) = 1

cos(2x) = 1/2

2x = π/3 + 2kπ или 2x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Тогда x = π/6 + kπ или x = 5π/6 + kπ.

Таким образом, решениями уравнения tg(2x)(1 + cos(4x)) - sin(4x) = 0 являются x = kπ / 2, x = π/6 + kπ и x = 5π/6 + kπ, где k - целое число.