Question

Для функции f(x) найдите F(x), если f(x)=2/x^3; F(x)=1​

Answer 1

$f(x)=\dfrac{2}{x^3}\\\\\\F(x)=\int \dfrac{2}{x^3}\, dx=2\cdot \dfrac{x^{-2}}{-2}+C=-\dfrac{1}{x^2}+C\ \ ,\\\\\\F(x_0)=1\ \ \to \ \ \ -\dfrac{1}{x_0^2}+C=1\ \ ,\ \ C=1+\dfrac{1}{x_0^2}\\\\\\F(x)=-\dfrac{1}{x^2}+1+\dfrac{1}{x_0^2}$

Для конкретного числового значения  $x_0$  будем получать различные числовые значения С .

Answer 2

Для функции $f(x) = \frac{2}{x^3}$ искомая функция $F(x)$ будет равна:

$F(x) = \int f(x) \, dx$

Интегрируя $f(x)$, получим:

$F(x) = \int \frac{2}{x^3} \, dx$

Чтобы решить этот интеграл, можно использовать правило степенного интегрирования. Для функции вида $f(x) = \frac{1}{x^n}$, где $n$ не равно -1, интеграл будет равен:

$\int \frac{1}{x^n} \, dx = \frac{1}{(1-n)x^{n-1}} + C$

Где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

В нашем случае, при $n = 3$, получаем:

$F(x) = \int \frac{2}{x^3} \, dx = \frac{1}{(1-3)x^{3-1}} + C = \frac{1}{-2x^2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

Таким образом, $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$, где $C$ - произвольная постоянная. Однако, в вашем вопросе дано, что $F(x) = 1$. Это позволяет нам определить значение постоянной $C$:

$1 = -\frac{1}{2x^2} + C$

$C = 1 + \frac{1}{2x^2}$

Таким образом, окончательное выражение для $F(x)$ будет:

$F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \left(1 + \frac{1}{2x^2}\right) = 1 - \frac{1}{2x^2}$