Question

Знайти похідну y'=ctg³x​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=ctg^3x\\y'=3ctg^2x*(-\frac{1}{sin^2x)}=-\frac{3ctg^2x}{sin^2x}$

Answer 2

Щоб знайти похідну функції y = ctg³x, скористаємось правилом ланцюгового диференціювання.

Почнемо з виразу ctg(x). Ми знаємо, що ctg(x) = 1/tan(x). Використовуючи це, можна переписати функцію як:

y = (1/tan(x))³

Тепер візьмемо похідну обох боків виразу за змінною x. Для зручності скористаємось правилом диференціювання степеневої функції та ланцюговим правилом.

Диференціал функції y за x можна записати так:

dy/dx = d/dx((1/tan(x))³)

Застосуємо ланцюгове правило диференціювання:

dy/dx = 3(1/tan(x))² * d/dx(1/tan(x))

Тепер давайте знайдемо d/dx(1/tan(x)). Це можна зробити, використовуючи правила диференціювання дробових функцій.

d/dx(1/tan(x)) = (d/dx(1) * tan(x) - 1 * d/dx(tan(x))) / (tan(x))²

Зауважте, що d/dx(1) = 0 та d/dx(tan(x)) = sec²(x). Після підстановки отримуємо:

d/dx(1/tan(x)) = (-sec²(x)) / (tan(x))²

Тепер підставимо це значення назад в початковий вираз для dy/dx:

dy/dx = 3(1/tan(x))² * (-sec²(x)) / (tan(x))²

Зауважте, що (1/tan(x))² / (tan(x))² = 1. Тому похідна спрощується до:

dy/dx = -3sec²(x)

Отже, похідна функції y = ctg³x є -3sec²(x).