Question

После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольный площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 8 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 9 плиток тоже остаётся один неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполное ряду при укладывают по 8. сколько всего плиток осталось после строительства дома?​

Answer 1

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку при вы­кла­ды­ва­нии по 8 и по 9 пли­ток в ряд пря­мо­уголь­ни­ков не по­лу­ча­ет­ся, а оста­ют­ся не­пол­ные ряды, то ко­ли­че­ство пли­ток де­лит­ся на 8 и на 9 с остат­ка­ми.

Оста­ток от де­ле­ния лю­бо­го числа на 8 не может быть боль­ше 7. По усло­вию это число на 6 боль­ше, чем оста­ток от де­ле­ния на 9. Но оста­ток от де­ле­ния на 9 тоже не равен нулю. Зна­чит, оста­ток от де­ле­ния на 8 может быть равен толь­ко 7. А оста­ток от де­ле­ния на 9 равен 1.

Общее ко­ли­че­ство пли­ток мень­ше 100, иначе их хва­ти­ло бы на квад­рат­ную пло­щад­ку со сто­ро­ной в 10 пли­ток. Среди чисел мень­ше 100 надо найти такое, ко­то­рое де­лит­ся на 8 с остат­ком 7 и на 9 с остат­ком 1. Про­ве­рив все числа в пре­де­лах 100, де­ля­щи­е­ся на 9 с остат­ком 1, по­лу­чим ответ: 55 пли­ток

Answer 2

Пусть общее количество плиток, которое осталось после строительства дома, равно N.

Из условия известно, что:

1. При укладывании в ряд по 10 плиток, плиток не хватило бы для квадратной площадки, то есть N < 10.
2. При укладывании по 8 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, значит N % 8 = k, где k - количество оставшихся плиток в неполном ряду при укладывании по 8.
3. При укладывании по 9 плиток также остаётся один неполный ряд, но в этом случае плиток в неполном ряду на 6 меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. То есть k - 6 плиток = k - 6 < k.

Из последнего условия следует, что -6 < 0, что не может быть верно, так как k - 6 больше k. Значит, такой случай невозможен.

Следовательно, остаётся только один вариант: k = 0 (то есть при укладывании по 9 плиток не остаётся неполных рядов).

Теперь, используя второе условие, мы знаем, что N % 8 = 0, что означает, что N - это кратное 8 число.

Подходящими значениями N в данной ситуации будут числа: 8, 16, 24, и так далее.

Но среди них только одно число меньше 10, как требует первое условие, - это 8.

Итак, после строительства дома осталось 8 плиток.