Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 35, а сумма катетов равна 49. Найти катеты треугольника.​

Answer 1

- xПусть один катет х, второй (49 - х).

Далее - Пифагор: x² + (49 - x)² = 35².

x² + 2401 - 98x + x² = 1225. Получаем квадратное уравнение.

2x² - 98x + 1176 = 0. Сокращаем на 2.

x² - 49x + 588 = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-49)^2-4*1*588=2401-4*588=2401-2352=49;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(2root49-(-49))/(2*1)=(7-(-49))/2=(7+49)/2=56/2=28;

x_2=(-2root49-(-49))/(2*1)=(-7-(-49))/2=(-7+49)/2=42/2=21.

Так как сумма корней равна 49, то они и есть катеты.

Ответ: катеты равны 21 и 28.

Answer 2

Пусть x - длина одного из катетов, а y - длина другого катета.

У нас есть два уравнения, которые связывают гипотенузу и катеты:

1. x^2 + y^2 = 35^2 (уравнение Пифагора для прямоугольного треугольника)
2. x + y = 49

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения x и y.

Из второго уравнения выразим x через y: x = 49 - y

Подставим это значение x в первое уравнение:

(49 - y)^2 + y^2 = 35^2

Раскроем скобки:

2401 - 98y + y^2 + y^2 = 1225

Сгруппируем подобные члены:

2y^2 - 98y + 2401 - 1225 = 0

2y^2 - 98y + 1176 = 0

Разделим все коэффициенты на 2, чтобы упростить уравнение:

y^2 - 49y + 588 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac

D = (-49)^2 - 4 * 1 * 588

D = 2401 - 2352

D = 49

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня.

Используем формулу для нахождения корней:

y = (-b ± √D) / (2a)

y1 = (-(-49) + √49) / (2 * 1) = (49 + 7) / 2 = 56 / 2 = 28 y2 = (-(-49) - √49) / (2 * 1) = (49 - 7) / 2 = 42 / 2 = 21

Таким образом, у нас есть два возможных значения для y: 28 и 21.

Теперь найдем соответствующие значения x, используя уравнение x = 49 - y:

x1 = 49 - 28 = 21 x2 = 49 - 21 = 28

Получаем две пары катетов для данного треугольника: (21, 28) и (28, 21).