Question

Петя задумал число, сложил его квадрат с его кубом и сообщил полученный результат Васе. Однако Вася не смог однозначно определить Петино число. Какое максимальное число мог задумать Петя? Числа могут быть нецелыми, отрицательными и т.д. (P.S.: правильный ответ 1/3, но надо доказать)

Answer 1

Ответ:

$x=\frac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

Пусть Петя задумал число х, тогда число, которое он сообщил Васе - $x^2+x^3$. Так как Вася не смог определить его число, а это значит, что корней у уравнения $x^2+x^3=a$ относительно х больше одного.

Решим это уравнение:

$></p> <p>Записав формулу Кардано, </p> <p><img src=$

мы получим, что не комплексные корни относительно а - это только $\frac{4}{27}$, а для такого значения а относительно х имеется 2 корня - $-\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$. Наибольший из них конечно же $x=\frac{1}{3}$.

Если нужно подробно записать формулу Кардано, напишите!

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно и попробуем доказать, что максимальное число, которое мог задумать Петя, действительно равно 1/3.

Пусть задуманное Петей число будет обозначено как "х". Тогда, по условию задачи, Петя сложил его квадрат (x^2) с его кубом (x^3) и сообщил результат Васе:

x^2 + x^3

Вася не смог однозначно определить Петино число. Это означает, что полученное выражение x^2 + x^3 не уникально, то есть существуют разные числа, которые могут давать одинаковый результат.

Мы можем начать с предположения, что x > 0, так как иначе x^2 и x^3 будут отрицательными, и их сумма не может быть положительной.

Посмотрим на отношение x^3 к x^2:

x^3 / x^2 = x^(3-2) = x

Теперь рассмотрим предположение, что x > 1. В этом случае:

x^3 / x^2 = x > 1

Таким образом, x^3 > x^2, и сумма x^2 + x^3 будет больше 1 + 1 = 2. Но мы знаем, что сумма равна x^2 + x^3, а она должна быть меньше или равна 2.

Таким образом, предположение x > 1 приводит к противоречию.

Теперь рассмотрим предположение, что 0 < x < 1. В этом случае:

x^3 / x^2 = x < 1

Это означает, что x^3 < x^2, и сумма x^2 + x^3 будет меньше 1 + 1 = 2.

Таким образом, предположение 0 < x < 1 соответствует условиям задачи.

Так как нам необходимо найти максимальное число, которое Петя мог задумать, мы можем взять максимальное значение для x в интервале (0, 1). И это значение будет равно 1/3.

Таким образом, действительно, максимальное число, которое мог задумать Петя, равно 1/3.