Question

1) На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К такая, что угол KAD=60 градус . Отрезок КА пересекает диагональ ВD в точке Р, а биссектриса угла СКА пересекает сторону СD в точке N. Докажите, что треугольник СРN – равносторонний. 2)На клеточном листе нарисована лента 1×2013, в первой клетке которой написано число1, а в последней – число 2. Петя и Вася поочередно записывают числа в свободные клетки. Петя ходит первым и пишет только единицы, а Вася – только двойки. Когда свободные клетки заканчиваются, Петя подсчитывает количество пар соседних клеток с одинаковыми числами в них, а Вася с разными. Если Петино число больше, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася, Кто победит при правильной игре? Обоснуйте свой вывод. 3) Найти все пары простых чисел p и q , для которых число p^3+q^2 является кубом некоторого натурального числа.

Answer 1

Ответ:

1) На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К такая, что угол KAD=60 градус . Отрезок КА пересекает диагональ ВD в точке Р, а биссектриса угла СКА пересекает сторону СD в точке N. Докажите, что треугольник СРN – равносторонний.

2)На клеточном листе нарисована лента 1×2013, в первой клетке которой написано число1, а в последней – число 2. Петя и Вася поочередно записывают числа в свободные клетки. Петя ходит первым и пишет только единицы, а Вася – только двойки. Когда свободные клетки заканчиваются, Петя подсчитывает количество пар соседних клеток с одинаковыми числами в них, а Вася с разными. Если Петино число больше, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася, Кто победит при правильной игре? Обоснуйте свой вывод.

3) Найти все пары простых чисел p и q , для которых число p^3+q^2 является кубом некоторого натурального числа.Пусть точки P и A лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD (рис. 1). Тре­уголь­ник ADP — рав­но­бед­рен­ный (AD = DC = DP = 1), по­это­му

\angle DAP= дробь, чис­ли­тель — 1, зна­ме­на­тель — 2 (180{} в сте­пе­ни circ минус \angle ADP)=

= дробь, чис­ли­тель — 1, зна­ме­на­тель — 2 (180{} в сте­пе­ни circ минус (90{} в сте­пе­ни circ минус 60{} в сте­пе­ни circ ))=75 в сте­пе­ни circ.

Пусть DH — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ADP. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH на­хо­дим, что

DH=AD синус \angle DAH=1 умно­жить на синус 75{} в сте­пе­ни circ = ко­си­нус 15{} в сте­пе­ни circ = дробь, чис­ли­тель — ко­рень из { 6} плюс ко­рень из { 2}, зна­ме­на­тель — 4 .

Пусть те­перь точки P и A лежат но раз­ные сто­ро­ны от пря­мой CD (рис. 2). Тре­уголь­ник ADP — рав­но­бед­рен­ный (AD = DC = DP = 1), по­это­му дробь, чис­ли­тель — ко­рень из { 6} плюс ко­рень из { 2}, зна­ме­на­тель — 4 или дробь, чис­ли­тель — ко­рень из { 6} минус ко­рень из { 2}, зна­ме­на­тель — 4 .

Answer 2

1) Для доказательства равносторонности треугольника СРN, можно воспользоваться теоремой о биссектрисе треугольника. Так как биссектриса угла СКА пересекает сторону СD в точке N, то угол SCN будет равен углу SCK. Также, учитывая что угол KAD = 60 градусов, получаем что угол KAR = 30 градусов. Теперь рассмотрим треугольник ARD. Так как угол KAR = 30 градусов, то угол KAD = 60 градусов, следовательно, треугольник ARD равнобедренный. Так как угол SCK = угол SCN, то треугольник SCN также равнобедренный. Таким образом, треугольник СРN равносторонний.

2) Петя и Вася будут ходить поочередно, и каждый из них будет заполнять свободные клетки своими числами. Так как лента имеет нечетную длину (2013), то каждый из них заполнит одинаковое количество клеток. После этого, у каждого из них будет одинаковое количество пар соседних клеток с одинаковыми числами в них, так как они заполняют клетки поочередно. Следовательно, у них будет одинаковое количество пар соседних клеток с разными числами в них. Таким образом, при правильной игре, у них будет одинаковое количество пар соседних клеток с одинаковыми числами и с разными числами, и ни один из них не сможет выиграть. Игра будет заканчиваться вничью.

3) Чтобы число p^3q^2 было кубом некоторого натурального числа, необходимо, чтобы показатели степеней p и q были кратны 3 и 2 соответственно. То есть, p должно быть вида p^3, а q должно быть вида q^2. Пары простых чисел, удовлетворяющие этому условию, будут такими, что p = a^3 и q = b^2, где a и b - натуральные числа. Таким образом, все пары простых чисел p и q, для которых число p^3q^2 является кубом некоторого натурального числа, будут вида (a^3, b^2), где a и b - натуральные числа.