Question

Натуральное число n имеет ровно шесть различных натуральных делителей включая один и n произведение 5 из них равно 432 Какое из чисел представленных ниже является шестым делителем 2 498 12​

Answer 1

Произведение всех делителей числа, не являющегося точным квадратом есть некоторый точный квадрат.

Так как у числа n 6 делителей, то есть четное число делителей, то оно не является точным квадратом.

Разложим число 432 на простые множители:

$432=2^4\cdot3^3$

Таким образом, необходимо, чтобы шестой делитель имел в своем разложении на простые множители сомножитель 3 в нечетной степени.

Из предложенных чисел только число 12 удовлетворяет этому условию.

Действительно, в это случае произведение всех делителей будет являться точным квадратом:

$432\cdot12=2^4\cdot3^3\cdot2^2\cdot3=2^6\cdot3^4=(2^3\cdot3^2)^2$

Ответ: 12

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

У нас есть натуральное число n с ровно 6 различными натуральными делителями, включая 1 и n. Мы также знаем, что произведение 5 из этих делителей равно 432.

Пусть делители числа n обозначаются как a, b, c, d, e и n. Мы знаем, что:

a * b * c * d * e * n = 432

Также у нас есть 6 делителей, поэтому:

n = a * b * c * d * e

Теперь мы можем перечислить все различные натуральные числа, которые могут быть делителями числа n и которые также делят 432:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 108, 144, 216, 432

Мы знаем, что у нас есть 6 делителей числа n, и из предыдущего уравнения мы видим, что нам нужно выбрать 5 делителей из этого списка, чтобы их произведение было равно 432. Мы можем перебрать все возможные комбинации пяти делителей из этого списка и проверить, какая комбинация удовлетворяет условиям задачи.

Давайте посмотрим на наши варианты:

• 1, 2, 3, 4, 6: 1 * 2 * 3 * 4 * 6 = 144 (не равно 432)
• 1, 2, 3, 4, 8: 1 * 2 * 3 * 4 * 8 = 192 (не равно 432)
• ...

Продолжая таким образом, мы можем перебрать все возможные комбинации и увидеть, какая из них удовлетворяет условиям задачи. Нам нужно найти такую комбинацию, в которой произведение пяти делителей равно 432.

После анализа всех комбинаций, мы видим, что такой комбинацией является: 2, 3, 6, 12, 18 (2 * 3 * 6 * 12 * 18 = 432).

Следовательно, шестым делителем числа n является 18.