Question

Пожалуйста, помогите решить интеграл! Не понимаю, для произведения под интегралом есть какая-то своя формула?

Answer 1

Решение:

Внесем $cos(x)$ под дифференциал. Тогда:

$\int {cos(x)\cdot (sin(x)+1)^4} \, dx = \int {(sin(x)+1)^4} \, d( sin(x) )=||t=sin(x)||=\\\\=\int {(t+1)^4}\, dt = \int {(t+1)^4}\, d(t+1)=||u=t+1||=\int {u^4}\, du=\frac{1}{5} \cdot u^5+C$

Возвращаем замены:

$\frac{1}{5} \cdot u^5 +C = \frac{1}{5} \cdot(t+1)^5 +C = \frac{1}{5} \cdot(sin(x)+1)^5+C$

Ответ:

$I= \frac{1}{5} \cdot(sin(x)+1)^5+C$

Answer 2

Конечно, я помогу вам! Для решения интегралов с произведением функций под интегралом существует несколько методов, включая метод интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$$

где $u$ и $v$ - это две функции, которые вы выбираете, а $du$ и $dv$ - их дифференциалы.

Шаги для применения метода интегрирования по частям:

1. Выберите $u$ и $dv$. Обычно $u$ выбирают так, чтобы его дифференциал $du$ был простым, а для $dv$ выбирают остальную часть выражения.
2. Вычислите $du$ и $v$ (интеграл от $dv$).
3. Подставьте значения $u$, $dv$, $du$ и $v$ в формулу интегрирования по частям.
4. Решите получившийся интеграл.

Если вы предоставите конкретный интеграл, который вы хотите решить, то я с удовольствием помогу вам применить метод интегрирования по частям для его решения!