Question

Мне нужно подробное решение. Не скрины онлайн-калькулятора. Ответ должен быть (sinx)/x

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{sinx}{x}$

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{n\to\infty}cos\dfrac{x}{2}...cos\dfrac{x}{2^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^n}\cdot 2^nsin\frac{x}{2^n}}{2^nsin\frac{x}{2^n}}=\\ =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-1}}\cdot 2^{n-1}(2sin\frac{x}{2^n}cos\frac{x}{2^n})}{2^n\cdot\frac{x}{2^n}}=\\ =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-1}}\cdot 2^{n-1}(sin\frac{x}{2^{n-1}})}{x}=$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-2}}\cdot 2^{n-2}(2sin\frac{x}{2^{n-1}}cos\frac{x}{2^{n-1}})}{x}=\\ =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-2}}\cdot 2^{n-2}(sin\frac{x}{2^{n-2}})}{x}=...=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{sinx}{x}=\dfrac{sinx}{x}$

На месте многоточия операция сворачивания формулы синуса двойного аргумента повторяется еще n-2 раза. В результате получаем искомый ответ

Answer 2

Конечно, я могу предоставить вам подробное решение предела функции $\frac{{\sin(x)}}{x}$, когда $x$ стремится к нулю. Для этого мы можем использовать лимит:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x}$$

Чтобы решить этот предел, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое утверждает, что если предел $\lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)}$ имеет вид $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, и предел $\lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ существует, то:

$$\lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

В данном случае $f(x) = \sin(x)$ и $g(x) = x$, поэтому:

$$f'(x) = \cos(x) \quad \text{и} \quad g'(x) = 1$$

Теперь мы можем применить правило Лопиталя:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(x)}{1}$$

Теперь оценим этот предел при $x \to 0$:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = \frac{1}{1} = 1$$

Таким образом, предел $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.

Итак, $\frac{\sin(x)}{x}$ при $x$ стремящемся к нулю равен 1.