Question

Помогите пожалуйста, прошу!) 1)lim sin9x/x x→0 2) y=5x^3-6x+5, x0=1 3) производную: y=5^x(3x+2)^4

Answer 1

Ответ:

не могу сказать точно правильно или нет))

Answer 2

$1) ~ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x}{x} = \left | {{\sin 9x \sim 9x} \atop {x \to 0}} \right| = \lim_{x \to 0}\frac{9x}{x} = 9$

Используйте эквивалентные бесконечно малые: при $x \to 0$ имеем $x \sim \sin x \sim \text{tg} \, x \sim \arcsin x \sim \text{arctg} \, x$

$2) ~ y = 5x^{3} - 6x + 5, ~~~ x_{0} = 1$

$y(1) = 5 \cdot 1^{3} - 6 \cdot 1 + 5 = 4$

$y' = 5 \cdot 3x^{2} - 6 \cdot 1 + 0 = 15x^{2} - 6$

$y'(1) = 15 \cdot 1^{2} - 6 = 9$

Уравнение касательной: $y = y'(x_{0}) (x - x_{0}) + y(x_{0}) = 9(x - 1) + 4 = 9x - 5$

Уравнение нормали: $y = y(x_{0}) - \dfrac{x - x_{0}}{y'(x_{0})} = 4 - \dfrac{x - 1}{9} = \dfrac{37 - x}{9}$

$3) ~ y = 5^{x}(3x + 2)^{4}$

$y' = (5^{x})'(3x + 2)^{4} + 5^{x}((3x+ 2)^{4})' = 5^{x}\ln 5(3x+2)^{4} + 12 \cdot 5^{x}(3x+2)^{3}$

Answer 3

Конечно, я помогу вам с задачами!

1. Начнем с вычисления предела:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(9x)}}{x}$$

Для решения данной задачи можно воспользоваться известным пределом:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x} = 1$$

Таким образом:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(9x)}}{x} = 9 \cdot \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(9x)}}{9x} = 9 \cdot 1 = 9$$

2. Для нахождения производной функции $y = 5x^3 - 6x + 5$ в точке $x_0 = 1$, нужно взять производную функции и подставить $x_0$:

$$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = 15x^2 - 6$$

$$y'(x_0) = 15 \cdot 1^2 - 6 = 15 - 6 = 9$$

Таким образом, производная функции $y$ в точке $x_0 = 1$ равна 9.

3. Для нахождения производной функции $y = 5^x \cdot (3x + 2)^4$ по переменной $x$, используем правило производной произведения функций (производная первой функции умножить на вторую плюс первая функция умножить на производную второй):

$$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} \left(5^x \cdot (3x + 2)^4\right)$$

$$y' = 5^x \cdot \frac{{d}}{{dx}} \left((3x + 2)^4\right) + \frac{{d}}{{dx}} \left(5^x\right) \cdot (3x + 2)^4$$

Для нахождения производной $\frac{{d}}{{dx}} \left((3x + 2)^4\right)$ можно использовать правило степенной производной:

$$\frac{{d}}{{dx}} \left((3x + 2)^4\right) = 4 \cdot (3x + 2)^3 \cdot 3 = 12 \cdot (3x + 2)^3$$

Для нахождения производной $\frac{{d}}{{dx}} \left(5^x\right)$ можно использовать правило производной экспоненты:

$$\frac{{d}}{{dx}} \left(5^x\right) = 5^x \cdot \ln(5)$$

Подставляя полученные значения обратно в уравнение для производной $y'$:

$$y' = 12 \cdot (3x + 2)^3 \cdot 5^x + 5^x \cdot \ln(5) \cdot (3x + 2)^4$$

Это и есть производная функции $y$ по переменной $x$.

Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, дайте знать!