Question

Выпишите уравнение касательной к графику функции, параллельной прямой: у=7х-1 1) f(x)= 4х²-5х+3 2) f(x)=8х-4

Answer 1

Две прямые параллельны, когда их угловые коэффициенты равны, то есть $k_1=k_2=k=7$.

Пусть $x_0$ — абсцисса точка касания прямой к графику функции.

Воспользуемся геометрическим смыслом производной: $f'(x_0)=k$.

$f'(x)=(4x^2-5x+3)'=8x-5$

$f'(x_0)=8x_0-5=7\\ x_0=1{,}5$

$f(x_0)=4\cdot 1{,}5^2-5\cdot 1{,}5+3=4{,}5$

Общий вид уравнения касательной $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$

$y=7(x-1{,}5)+4{,}5=7x-6$

2) f(x) = 8x - 4

Прямые $y=7x-1$ и $f(x)=8x-4$ не могут касаться друг друга и естественно и для параллельных прямых. Вывод: нет таких касательных.

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции, параллельной прямой у = 7x - 1, имеет вид:

y = mx + c,

где m - это угловой коэффициент (производная функции в точке касания), а c - это константа.

1. Для функции f(x) = 4x² - 5x + 3:

Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 8x - 5.

Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, подставим x координату точки касания в производную:

x_0 - x-координата точки касания.

Подставим значение производной f'(x) в данное уравнение:

m = f'(x_0) = 8x_0 - 5.

Теперь, так как касательная параллельна у = 7x - 1, угловой коэффициент касательной должен быть таким же, то есть:

m = 7.

Подставив это значение m в уравнение для производной, найдем x_0:

7 = 8x_0 - 5, 8x_0 = 12, x_0 = 1.5.

Теперь подставим найденное значение x_0 в уравнение функции:

y = f(x_0) = 4(1.5)² - 5(1.5) + 3 = 10.25.

Таким образом, уравнение касательной к функции f(x) = 4x² - 5x + 3, параллельной прямой у = 7x - 1, в точке (1.5, 10.25) имеет вид:

y = 7x + c.

Подставив x и y из точки касания, найдем c:

10.25 = 7(1.5) + c, 10.25 = 10.5 + c, c = -0.25.

Итак, уравнение касательной:

y = 7x - 0.25.

2. Для функции f(x) = 8x - 4:

У этой функции угловой коэффициент уже совпадает с угловым коэффициентом параллельной прямой (7), так как m = 8. Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

y = 7x + c.

Так как константа c может быть любым числом, уравнение касательной неоднозначно и может быть представлено как:

y = 7x + c.

Здесь c - произвольная константа.