Question

Решите уравнение способом введения новой переменной(x+1)^2(х^2+2х)-12=0​

Answer 1

Ответ:

В действительных числах 2 решения:  х = -3 или х = 1

В комплексных 4 решения: х = -3 или х = 1 или $x=-1-i\sqrt3$ или $x=-1+i\sqrt3$

Пошаговое объяснение:

$(x+1)^2(x^2+2x)-12=0\\(x^2+2x+1)(x^2+2x)-12=0$

Пусть t = x² + 2x, тогда уравнение имеет вид

$(t+1)t-12=0\\t^2+t-12=0\\(t-3)(t+4)=0\\\displaystyle\left [ {{t-3=0} \atop {t+4=0}} \right.$

Решим каждое из уравнений по отдельности.

Первое уравнение

$t-3=0\\t=3\\x^2+2x=3\\x^2+2x-3=0\\(x+3)(x-1)=0\\\displaystyle \left [ {{x+3=0} \atop {x-1=0}} \right. \\\left[ {{x=-3} \atop {x=1}} \right.$

Нашли 2 корня х = -3 или х = 1

Второе уравнение

$t+4=0\\x^2+2x+4=0\\x^2+2x+1+3=0\\(x+1)^2+3=0\\(x+1)^2=-3$

В действительных числах решений нет, так как квадрат отрицателен.

Но давайте все же посчитаем (так как уровень студенческий)

$(x+1)^2=-3\\x+1=\pm i\sqrt3\\x=-1\pm i\sqrt3$

Получаем в действительных числах 2 решения: х = -3 или х = 1

и в комплексных 4 решения: х = -3 или х = 1 или $x=-1-i\sqrt3$ или $x=-1+i\sqrt3$

Answer 2

$1) \: \: \: (x + 1) {}^{2} = x {}^{2} + 2x + 1$

$(x {}^{2} + 2x + 1) \times (x {}^{2} + 2x) - 12 = 0$

Замена:

$x {}^{2} + 2x = t$

$(t + 1) \times t - 12 = 0$

Answer 3

Давайте рассмотрим данное уравнение и введем новую переменную. Пусть $y = x + 1$, тогда $x = y - 1$. Подставим это выражение для $x$ в данное уравнение:

$(x + 1)^2 \cdot (x^2 + 2x) - 12 = 0$ $(y)^2 \cdot ((y - 1)^2 + 2(y - 1)) - 12 = 0$

Упростим это выражение:

$(y^2) \cdot (y^2 - 2y + 1 + 2y - 2) - 12 = 0$ $y^2 \cdot (y^2 - 1) - 12 = 0$ $y^4 - y^2 - 12 = 0$

Теперь это уравнение является квадратным по $y^2$. Решим его как квадратное уравнение:

$y^4 - y^2 - 12 = 0$

Введем временную переменную $z = y^2$:

$z^2 - z - 12 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $z$:

$z^2 - 4z + 3z - 12 = 0$ $z(z - 4) + 3(z - 4) = 0$ $(z + 3)(z - 4) = 0$

Получаем два возможных значения $z$:

1. $z + 3 = 0$ => $z = -3$, но квадрат невозможно представить в виде отрицательного числа, поэтому это решение отбрасываем.
2. $z - 4 = 0$ => $z = 4$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

1. $y^2 = -3$ => нет реальных корней, так как квадрат не может быть отрицательным.
2. $y^2 = 4$ => $y = \pm 2$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $y = 2$ => $x = 2 - 1 = 1$
2. $y = -2$ => $x = -2 - 1 = -3$

Итак, уравнение $(x + 1)^2 \cdot (x^2 + 2x) - 12 = 0$ имеет два решения: $x = 1$ и $x = -3$.