Question

На первое занятие кружка «Умелые руки» пришло 15 школьников разных классов. Могло ли оказаться так, что каждый из школьников был знаком ровно с пятью другими, пришедшими на кружок?

Answer 1

Ответ:

Нет. Такое невозможно.

Пошаговое объяснение:

Поясняю. "Знакомство" - это парный процесс.

То есть, если А знаком с Б, то значит и Б знаком с А.

Допустим, условие выполняется.

Тогда из 15 человек Каждый знаком с пятью. Если рассматривать знакомства как парный процесс, то суммарно общее количество контактов, имеющихся у всех ребят, должно быть четным.

Но! Если мы допускаем, что каждый из 15 человек имеет 5 контактов, то суммарно мы насчитаем

15 • 5 = 75 контактов.

Нечетное число. Один из контактов не имеет пары, т.е. хотя бы в 1 случае получается, что А знаком с Б, но вот Б не знает, кто такой А. Что невозможно. А значит, и условие невыполнимы

Answer 2

Да, это возможно. Если каждый из 15 школьников был знаком ровно с пятью другими, пришедшими на кружок, то это соответствует определению графа регулярного пятиугольника. В этом случае, каждый школьник связан с пятью другими школьниками.

Граф регулярного пятиугольника (или пятирегулярный граф) является одним из примеров регулярных графов, в которых у каждой вершины одинаковая степень, то есть количество инцидентных ей рёбер. В данном случае, каждый школьник имеет 5 знакомых школьников, и это удовлетворяет определению графа регулярного пятиугольника.