Question

В роще растут деревья четырех видов березы, ели, сосны и осины. Всего 100 деревьев. Известно, что среди любых 85 деревьев найдутся деревья всехметырех видов Среди како го наименьшего количества любых деревьев в этойроде обязательно найдутся деревья хотя бы трёх видов?​

Answer 1

Ответ: 69

Пошаговое объяснение:Если среди 85 найдутся деревья 4 вида деревьев - то есть каждого дерева минимум по 16 экземпляров, иначе исключим эти деревья - и получится 85 деревьев 3-х видов.

Это верно.

Теперь отнимем из 85 16 - получится 69, это и есть минимальное количество, среди которого найдётся деревья 3-х видов.

1) Необходимость. Докажем, что меньше нельзя. Например, 68 деревьев. Очевидно, что распределение 34-34-16-16 удовлетворяет исходному условию (среди 85 есть все 4 вида), а взяв первые два вида, получим 68 деревьев. То есть, 68 не является достаточным набором.

2) Достаточность. Предположим, что мы взяли 69 деревьев и они оказались только двух видов. Из оставшихся 31 деревьев деревья оставшихся двух видов(например, 3-й вид и 4-й), хотя бы один встречается в количестве меньшем, либо равном 15 (если оба встречаются 16 и более раз, то получается оставшихся деревьев не менее 32). Возьмём вид, встречающийся в количестве меньшем, чем 15 раз - например, это вид 4. Теперь соберём все деревья, кроме 4-го вида - их будет 100 минус вид 4, то есть не менее 85, что противоречит условию задачи.

Итого - 69 - необходимое и достаточное число.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию, в которой у нас есть минимальное количество деревьев каждого вида: по 1 берёзе, 1 ели, 1 сосне и 1 осине. Таким образом, у нас уже есть 4 дерева. Осталось 96 деревьев.

Чтобы удовлетворить условие "среди любых 85 деревьев найдутся деревья всех четырёх видов", мы можем взять 85 деревьев (по 1 дереву каждого вида) и 85 - 4 = 81 дополнительное дерево (пусть это будут березы, чтобы минимизировать общее количество деревьев). Теперь у нас есть 85 + 81 = 166 деревьев.

Мы использовали 166 деревьев, но у нас всего 100 деревьев. Это означает, что мы не можем иметь 166 деревьев таким образом, чтобы среди них были деревья хотя бы трёх видов.

Следовательно, наименьшее количество деревьев, среди которых обязательно найдутся деревья хотя бы трёх видов, это 167 деревьев.