Question

Разложите на линейные множители многочлен:1)х^3-2х^2-х+2​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для разложения многочлена $x^3 - 2x^2 - x + 2$ на линейные множители, нам нужно найти его корни. Мы можем воспользоваться методом подбора или, если у нас есть подсказка, использовать теорему о рациональных корнях (теорема о делителях) и проверить делители константы 2 и коэффициента при старшей степени многочлена 1.

Теорема о рациональных корнях гласит, что если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональный корень $p/q$, то $p$ делит коэффициент при свободном члене, а $q$ делит коэффициент при старшей степени.

В данном случае коэффициент при свободном члене равен 2, а коэффициент при старшей степени равен 1. Таким образом, рациональные корни должны быть делителями 2 (то есть $\pm1$ и $\pm2$).

Попробуем подставить эти значения в многочлен и найти корни:

1. Подстановка $x = 1$: $1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + 2 = 0$, следовательно, $x - 1$ является одним из множителей.

2. Подстановка $x = -1$: $(-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 2 = 0$, следовательно, $x + 1$ также является одним из множителей.

Теперь мы можем разделить исходный многочлен на $x - 1$ и $x + 1$ с помощью синтетического деления или долгого деления:

$$\begin{align*} \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x - 1} &= x^2 - x - 1 \\ \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x + 1} &= x^2 - 3x + 2 \end{align*}$$

Мы видим, что $x^2 - x - 1$ и $x^2 - 3x + 2$ являются двумя оставшимися квадратными множителями. Мы можем дальше разложить эти множители, если они разлагаются на линейные множители. Однако, $x^2 - x - 1$ и $x^2 - 3x + 2$ не разлагаются на линейные множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, разложение многочлена $x^3 - 2x^2 - x + 2$ на линейные множители: $(x - 1)(x + 1)(x^2 - x - 1)(x^2 - 3x + 2)$.