Question

Среди чисел,делящихся на 7 без остатка найдите такое число которое при делении на 2 дает остаток 1,при делении на 3 дает остаток 2,при делении на 4 дает остаток 3

Answer 1

Ответ:

8/7=1,1

16/7=2,2

23/7=3,3

Answer 2

Чтобы найти число, удовлетворяющее всем указанным условиям, можно воспользоваться китайской теоремой об остатках. Давайте решим это задание шаг за шагом.

У нас есть следующая система сравнений:

1. $x \equiv 1 \pmod{2}$
2. $x \equiv 2 \pmod{3}$
3. $x \equiv 3 \pmod{4}$
4. $x \equiv 0 \pmod{7}$ (поскольку число делится на 7 без остатка)

Применяя китайскую теорему об остатках, мы можем найти решение этой системы.

1. Найдем $N$ — произведение модулей: $N = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 = 168$.
2. Найдем $N_1$, $N_2$, $N_3$ и $N_4$ — частные произведений модулей, соответствующих каждому уравнению:
   • $N_1 = \frac{N}{2} = 84$
   • $N_2 = \frac{N}{3} = 56$
   • $N_3 = \frac{N}{4} = 42$
   • $N_4 = \frac{N}{7} = 24$
3. Найдем обратные элементы по модулю для каждого $N_i$:
   • $x_1 = 84^{-1} \pmod{2} = 0$ (так как $84$ четное, обратного элемента не существует)
   • $x_2 = 56^{-1} \pmod{3} = 2$
   • $x_3 = 42^{-1} \pmod{4} = 2$
   • $x_4 = 24^{-1} \pmod{7} = 3$
4. Теперь вычислим решение по китайской теореме об остатках: $x = (1 \cdot 84 \cdot 0) + (2 \cdot 56 \cdot 2) + (3 \cdot 42 \cdot 2) + (0 \cdot 24 \cdot 3) = 504 + 224 + 252 + 0 = 980$.

Итак, число $x = 980$ удовлетворяет всем указанным условиям: оно делится на 7 без остатка, при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, и при делении на 4 дает остаток 3.