Question

Решить уУравнение 2sinx^2-cosx-1=0​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

1-ый способ:

$2sin^2x-cosx-1=0\\-(1-2sin^2x)-cosx=0\\cos2x+cosx=0\\cos\dfrac{3x}{2}cos\dfrac{x}{2}=0\\1)\\cos\dfrac{x}{2}=0\\x=\pi+2n\pi,\;n\in Z\\2)\\cos\dfrac{3x}{2}=0\\\dfrac{3x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in Z\\x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z\\\\=>x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z$

2-ой способ:

$2sin^2x-cosx-1=0\\2(1-cos^2x)-cosx-1=0\\2cos^2x+cosx-1=0\\2cos^2x+2cosx-cosx-1=0\\2cosx(cosx+1)-(cosx+1)=0\\(cosx+1)(2cosx-1)=0\\1)\\cosx=-1\\x=\pi+2n\pi,\;n\in Z\\2)\\2cosx-1=0\\cosx=1/2\\x=\pi/3+2k\pi.\;k\in Z\\x=-\pi/3+2l\pi,\;l\in Z$

Уравнение решено!

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте обозначим $y = \sin(x)$. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

$2y^2 - \cos(x) - 1 = 0.$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$, мы можем подставить это значение в уравнение:

$2y^2 - \sqrt{1 - y^2} - 1 = 0.$

Теперь у нас есть уравнение относительно $y$:

$2y^2 - 1 = \sqrt{1 - y^2}.$

Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$4y^4 - 4y^2 + 1 = 1 - y^2.$

Упростим его:

$4y^4 - 5y^2 + y^2 = 0.$

$y^2 (4y^2 - 5) = 0.$

Теперь у нас есть два квадратных уравнения:

1. $y^2 = 0$, откуда получаем $y = 0$.
2. $4y^2 - 5 = 0$, откуда получаем $y^2 = \frac{5}{4}$, что дает два корня: $y = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $y = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь мы знаем значения $y$, и чтобы найти соответствующие значения $x$, мы воспользуемся обратными тригонометрическими функциями:

1. $y = 0$ соответствует $\sin(x) = 0$, следовательно, $x = k\pi$, где $k$ - целое число.
2. $y = \frac{\sqrt{5}}{2}$ соответствует $\sin(x) = \frac{\sqrt{5}}{2}$, такое значение $\sin(x)$ имеется в двух квадрантах: в первом и во втором. В первом квадранте $x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$, а во втором квадранте $x = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$. Аналогично для $y = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, решения уравнения $2\sin(x)^2 - \cos(x) - 1 = 0$ это:

1. $x = k\pi$, где $k$ - целое число.
2. $x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi k$ или $x = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi k$