Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО, хелп, 12 часов сижу, не понимаю что делаю не так! Решите уравнения в полных дифференциалах: y' = (x+y-2)/(2x-2) Я пытался через интегрирующий множитель, он находится через х, но при его использовании уравнение всё равно не соответствует полным дифференциалам.. Либо я считать не умею, либо преподаватель..

Answer 1

Ответ:

Это ДУ, приводящееся к однородному. Вроде все нормально сделала, справа еще у выразила, но в принципе можно оставить в неявном виде

Answer 2

Давайте вместе разберемся с этим дифференциальным уравнением. Уравнение выглядит следующим образом:

y' = (x+y-2)/(2x-2)

Чтобы уравнение стало уравнением в полных дифференциалах, нам нужно найти такую функцию μ(x), называемую интегрирующим множителем, чтобы умножение на неё преобразовало уравнение в точный дифференциал.

Давайте начнем:

У нас есть уравнение:

y' = (x+y-2)/(2x-2)

Мы хотим найти μ(x), такую что:

μ(x) * (x+y-2)/(2x-2) = M(x,y)dx + N(x,y)dy

где M(x,y) = μ(x) * (x+y-2)/(2x-2) и N(x,y) = μ(x) * y'.

Давайте найдем μ(x):

μ(x) = e^(∫(N_x - M_y)/M dx)

где N_x - производная N по x, M_y - производная M по y.

N_x = μ'(x)y' + μ(x)y'' (производная N по x) M_y = μ'(x)y' + μ(x) (производная M по y)

Теперь подставим это обратно в формулу для μ(x):

μ(x) = e^(∫(μ'(x)y' + μ(x)y'' - μ'(x)y' - μ(x))/M dx) μ(x) = e^(∫(μ(x)y'' - μ(x))/M dx) μ(x) = e^(∫y'' dx) μ(x) = e^(y')

Теперь, умножим исходное уравнение на найденный интегрирующий множитель μ(x):

e^(y') * (x+y-2)/(2x-2) = M(x,y)dx + N(x,y)dy

Теперь можно проверить, стало ли уравнение точным. Если да, то его можно будет решить путем интегрирования.