Question

Изобразить на комплексной плоскости множество точек z удовольтворяющих условию |z - i|+|z + i| = 2​

Answer 1

Пусть $\Re z=x, \Im z=y$

$|x+i(y-1)|+|x+i(y+1)|=2\\ \sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}=2\\ x^2+(y-1)^2+x^2+(y+1)^2+2\sqrt{x^2+(y-1)^2}\sqrt{x^2+(y+1)^2}=4\\ 2x^2+2y^2+2\sqrt{x^4+x^2(2y^2+2)+(y^2-1)^2}=2\\ \sqrt{(x^2+(y^2-1))^2+4x^2}=-(x^2+(y^2-1))\Rightarrow -(x^2+(y^2-1))\geq 0\;\;(1)$

Возводя в квадрат, получим:

$(x^2+(y^2-1))^2+4x^2=(x^2+(y^2-1))^2\\ 4x^2=0\Rightarrow x=0$

Подставляя $x=0$ в $(1)$, получим: $y^2-1\leq 0\Rightarrow |y|\leq 1\;\;\;(2)$

Подставляя $x=0$ в исходное уравнение, получим

$\sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y+1)^2}=2\\ |y-1|+|y+1|=2$

Тогда, с учетом $(2)$, получаем $1-y+y+1=2\Rightarrow 2=2$ - верное равенство.

А значит мн-во точек с координатами $(0,y), |y|\leq 1$ удовлетворяют уравнению.

Тогда мн-во точек, удовлетворяющих условию |z - i|+|z + i| = 2​, имеет вид $\{z\in C | \Re z=0,-1\leq \Im z\leq 1\}$ - отрезок, соединяющий точки $(0;-1),(0;1)$

Answer 2

Условие данного уравнения можно интерпретировать следующим образом: сумма расстояний от комплексного числа z до точек i и -i на комплексной плоскости равна 2. Геометрически это означает, что множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой эллипс с фокусами в точках i и -i и суммой расстояний между фокусами, равной 2.

Давайте изобразим это на комплексной плоскости:

1. Фокусы: точки i и -i.
2. Сумма расстояний: 2.

Таким образом, мы имеем эллипс с фокусами в точках i и -i, и суммой расстояний, равной 2. Поскольку эллипс симметричен относительно действительной оси, его полуоси будут равными. Мы также можем использовать формулу для расчета полуосей эллипса, исходя из суммы расстояний и расстояния между фокусами:

Полуоси (a и b) можно найти по формулам: a = b = сумма_расстояний / 2 = 2 / 2 = 1.

Таким образом, радиусы эллипса будут равными и равными 1. Теперь мы можем изобразить этот эллипс на комплексной плоскости:

markdownCopy code
   |
1  |         __
   |      _-'  `-_
   |    _-'        `-_
   |  _-'            `-_
   |_-'__________________`-_
   0       |       |       0
          -1       1

На данной диаграмме эллипс изображен с полуосями, равными 1, и фокусами в точках i и -i.