Question

Найдите остаток при делении на 5 значения выражения: 3^2020+5^2020+7^2020

Answer 1

Ответ:

7 остаток 2

Пошаговое объяснение:

.....1+.....5+ .....1 = ...............7 остаток 2

Answer 2

Для нахождения остатка при делении на 5 значения выражения $3^{2020} + 5^{2020} + 7^{2020}$, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если $a$ не делится на простое число $p$, то $a^{p-1}$ при делении на $p$ даёт остаток 1.

В данном случае, $5$ является простым числом и не делится на $5$, поэтому по малой теореме Ферма: $5^{4} \equiv 1 \pmod{5}.$

Теперь давайте рассмотрим выражение по отдельности: $3^{2020} + 5^{2020} + 7^{2020}.$

Рассмотрим остатки при делении каждой из степеней на $4$ (так как $5^4 \equiv 1 \pmod{5}$):

• $3^{2020}$ при делении на $4$ даёт остаток $3^{2020} \equiv 1 \pmod{4}$, так как $3^2 = 9$ даёт остаток $1$ при делении на $4$, и любая чётная степень $3^2$ также будет давать остаток $1$.
• $5^{2020}$ при делении на $4$ даёт остаток $5^{2020} \equiv 1 \pmod{4}$, как объяснено выше.
• $7^{2020}$ при делении на $4$ также даёт остаток $7^{2020} \equiv 1 \pmod{4}$, так как $7^2$ даёт остаток $1$ при делении на $4$.

Таким образом, сумма $3^{2020} + 5^{2020} + 7^{2020}$ при делении на $4$ даёт остаток $1 + 1 + 1 = 3$.

Но мы хотим найти остаток при делении на $5$, и здесь можно заметить, что $3^1 \equiv 3 \pmod{5}$. Так как мы знаем, что $3^{2020}$ даёт остаток $3$ при делении на $5$, то весь остаток при делении выражения на $5$ равен $3$.

Итак, $3^{2020} + 5^{2020} + 7^{2020}$ при делении на $5$ даёт остаток $3$.