Question

Решите пожалуйста, sin 2a, tg 2a, если tg a= корню из 2 , П

Answer 1

$\mathrm{tg}(a) = \sqrt{2}$

$\sin(2a) = 2\cdot\sin(a)\cos(a) = 2\cdot\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\cdot\cos^2(a) = 2\cdot\mathrm{tg}(a)\cdot\cos^2(a)$

$\frac{1}{\cos^2(a)} = 1 + \mathrm{tg}^2(a)$

$\cos^2(a) = \frac{1}{1+\mathrm{tg}^2(a)}$

$\sin(2a) = 2\cdot\frac{\mathrm{tg}(a)}{1+\mathrm{tg}^2(a)}$

$\sin(2a) = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{1 + (\sqrt{2})^2} =$

$= 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{1+2} = \frac{2\cdot\sqrt{2}}{3}$

$\mathrm{tg}(2a) = \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} =$

$= \frac{2\cdot\sin(a)\cdot\cos(a)}{\cos^2(a) - \sin^2(a)} =$

$= \frac{2\cdot\frac{\sin(a)}{\cos(a)}}{1 - \frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}} =$

$= \frac{2\cdot\mathrm{tg}(a)}{1 - \mathrm{tg}^2(a)} =$

$= \frac{2\cdot\sqrt{2}}{1- (\sqrt{2})^2} = \frac{2\cdot\sqrt{2}}{1 - 2} =$

$= -2\cdot\sqrt{2}$

Answer 2

Дано, что $\tan(a) = \sqrt{2}$.

Мы знаем, что $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}$.

Подставим значение $\tan(a) = \sqrt{2}$ в эту формулу:

$\tan(2a) = \frac{2\sqrt{2}}{1 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{2\sqrt{2}}{-1} = -2\sqrt{2}$.

Теперь для нахождения $\sin(2a)$ воспользуемся тригонометрической формулой $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$:

Мы знаем, что $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$, следовательно, $\sin(a) = \tan(a)\cos(a)$.

Подставим значение $\tan(a) = \sqrt{2}$:

$\sin(a) = \sqrt{2}\cos(a)$.

Теперь воспользуемся тождеством $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)$:

$\cos^2(a) = 1 - (\sqrt{2}\cos(a))^2$, $\cos^2(a) = 1 - 2\cos^2(a)$, $3\cos^2(a) = 1$, $\cos^2(a) = \frac{1}{3}$, $\cos(a) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Так как $\tan(a) > 0$ (из данного условия), то $\cos(a) > 0$, следовательно, $\cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь, используя $\sin(a) = \sqrt{2}\cos(a)$:

$\sin(a) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь можем найти $\sin(2a)$:

$\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) = 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$