Question

Точка Е - середина основания AD трапеции ABCD. Отрезки BD и СЕ пересекаются в точке F. Известно, что BD. Докажите, что ВС = FC.​

Answer 1

Надеюсь, поймёшь тему.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную трапецию и докажем, что $BC = FC$.

У нас есть трапеция ABCD, где E - середина основания AD, BD и CE пересекаются в точке F, и известно, что BD || CE (параллельны). Для доказательства того, что $BC = FC$, нам понадобится использовать свойство подобных треугольников.

Обозначим точку пересечения AD и CE как G. Теперь у нас есть два треугольника: $BCF$ и $GCF$, имеющие общий угол при точке $C$, так как BD || CE.

Теперь посмотрим на треугольники $BGC$ и $CFE$. У них также есть общий угол при точке $C$, и мы знаем, что отрезок BD параллелен отрезку CE, поэтому углы BGC и CFE равны между собой, так как это соответственные углы при параллельных прямых.

Таким образом, у нас есть две пары углов, равных между собой: углы BCF и GCF, а также углы BGC и CFE. Это означает, что треугольники $BCF$ и $GCF$ подобны по двум углам.

Теперь, так как у нас есть подобные треугольники, мы можем использовать соотношение длин соответствующих сторон:

$\frac{BC}{GC} = \frac{CF}{FC}$

Но так как точка $G$ является точкой пересечения диагоналей трапеции, она также является её точкой пересечения медиан. Следовательно, $EG = GD$ и $CG = 2 \cdot GC$.

Подставим это в предыдущее уравнение:

$\frac{BC}{2 \cdot GC} = \frac{CF}{FC}$

Теперь мы можем переписать это уравнение:

$BC = 2 \cdot CF$

Отсюда видно, что $BC$ равно удвоенной длине отрезка $CF$, что означает, что $BC = FC$.

Таким образом, мы доказали, что $BC = FC$, и утверждение доказано.