Question

Сколько существует правильных несократимых дробей со знаменателем 231?

Answer 1

Ответ:

84.

$1 \leqslant a \leqslant 230$

Правильная дробь имеет вид:

$\frac{a}{231}$

230 правильных дробей.

Из этого числа нужно исключить

сократимые дроби.

Все делители числа 231:

1; 3; 7; 11; 21; 33; 77; 231.

Числители, кратные 3

(только для правильных дро

бей):

3n ---- 7×11-1=77-1=76

Числители, кратные 7:

7n ---- 3×11-1=33-1=32

Числители, кратные 11:

11n ---- 3×7-1=21-1=20

Числители, кратные 21:

21n ----- 11-1=10

Числители, кратные 33:

33n ----- 7-1=6

Числители, кратные 77:

77n ----- 3-1=2

76+32+20+10+6+2=146 правиль

ных сократимых дробей.

230-146=84 несократимых пра

вильных дробей.

Ответ:

84.

Answer 2

Для определения количества правильных несократимых дробей с данным знаменателем (231), мы должны вычислить количество взаимно простых чисел с 231 в интервале от 1 до 231.

Чтобы найти количество взаимно простых чисел с 231, нужно воспользоваться функцией Эйлера (или φ-функцией, фи-функцией). Функция Эйлера φ(n) для данного натурального числа n показывает количество положительных целых чисел, меньших n, и взаимно простых с n.

Значение φ(231) можно вычислить как:

φ(231) = 231 * (1 - 1/3) * (1 - 1/11) = 72

Таким образом, существует 72 различных правильных несократимых дробей со знаменателем 231.