Question

Очень срочно Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 6х – х^2 и у = 2х.

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, вам нужно найти точки их пересечения и вычислить интеграл площади между этими точками. Сначала найдем точки пересечения:

Поставим уравнения в уравнение друг друга: $6x - x^2 = 2x.$

Решим это уравнение относительно x: $6x - x^2 - 2x = 0,$ $-x^2 + 4x = 0,$ $x(x - 4) = 0.$

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 4.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим найденные x в одно из исходных уравнений, например, в $y = 6x - x^2$:

При x = 0: $y = 6 * 0 - 0^2 = 0.$

При x = 4: $y = 6 * 4 - 4^2 = 24 - 16 = 8.$

Итак, точки пересечения: (0, 0) и (4, 8).

Теперь вычислим интеграл площади между этими точками. Площадь будет равна разности интегралов функций $y = 6x - x^2$ и $y = 2x$ на интервале [0, 4]:

$S = \int_0^4 (6x - x^2 - 2x) dx.$

Упростим подынтегральное выражение: $S = \int_0^4 (4x - x^2) dx.$

Теперь проинтегрируем это выражение: $S = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^4 = \left(2 * 4^2 - \frac{4^3}{3}\right) - \left(2 * 0^2 - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{32}{3}.$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6x - x^2$ и $y = 2x$, равна $\frac{32}{3}$ квадратных единиц.